Codeforces Round 1063 (Div. 2) 补题记录

Codeforces Round 1063 (Div. 2) 补题记录

D - Diadrash

题目大意：

本题为交互题，存在一个 \([0, \ n - 1]\) 的排列 \(p\)，以及 \(q\) 个区间。

每次询问 "\(? \ l \ r\)" 会返回区间 \([l, \ r]\) 的 \(Mex\)，最多可以询问 \(30\) 次。

问这 \(q\) 个区间的最大 \(Mex\) 为多少。

思路：

首先我们可以发现两个性质：

• 设 \(A = [l, \ r], B = [L, \ R]\)，若 \(A\) 被 \(B\) 所包含，则 \(Mex(A) \leq Mex(B)\)。

• \(Mex(L, \ R) = min(min(p_1, \dots, p_{L-1}), min(p_{R+1}, \dots, p_n))\)

首先我们可以利用第一个性质减少区间的数量。而对于第二个性质，我们可以得到 \(Mex([L, \ R]) = min(Mex([L, \ n]), Mex([1, \ R]))\)。证明如下：

• 设 \(A(L) = Mex([L, \ n]), \ B(R) = Mex([1, \ R])\)

• 由性质二可得：\(A(L) = min(p_1, \dots, p_{L - 1}), \ B(R) = min(p_{R + 1}, \dots, p_n)\)

• 故 \(Mex([L, \ R]) = min(A(L), B(R))\)

然后我们设 \(f(i) = Mex([L_i, \ R_i]) = min(A(L_i), B(R_i))\)。那么有：

\[f(i) = \begin{cases} A(L_i), \ A(L_i) > B(R_i) \\ \\ B(R_i), \ A(L_i) \leq B(R_i) \end{cases} \]

通过对区间排序，可以使得当 \(i\) 增大时，\(L_i\) 与 \(R_i\) 都是单调不减的。对于 \(A(L_i)\)，当 \(i\) 增大时，\(L_i\) 增大，\([L_i, \ n]\) 所覆盖区间缩小，因此\(A(L_i)\) 要么不变要么减小；而对于 \(B(R_i)\)，当 \(i\) 增大时，\(R_i\) 增大，\([1, \ R_i]\) 所覆盖区间扩大，因此\(B(R_i)\) 要么不变要么增大。

因此，我们对所有区间用二分模拟三分的方法，当 \(f(i) = A(L_i)\) 时，缩小 \(i\)，当 \(f(i) = B(R_i)\) 时，增大 \(i\)，同时更新答案即可。

code：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// #define endl '\n'
#define i64 long long

void MuBai() {
    int n, q;
    cin >> n >> q;

    vector<pair<int, int>> range(q), merged;
    for (int i = 0; i < q; i ++ ) {
        cin >> range[i].first >> range[i].second;
    }

    ranges::sort(range, [&](auto A, auto B) {
        if (A.first == B.first) return A.second > B.second;
        return A.first < B.first;
    });

    int maxRight = -1;
    for (int i = 0; i < q; i ++ ) {
        if (range[i].second > maxRight) {
            merged.emplace_back(range[i]);
            maxRight = range[i].second;
        }
    }

    function<int(int, int)> ask = [&](int l, int r) {
        int res = 0;
        cout << "? " << l << ' ' << r << endl;
        cin >> res;
        return res;
    };

    int l = 1, r = merged.size(), ans = -1;
    while (l <= r) {
        int mid = (l + r) >> 1;
        int left = merged[mid - 1].first;
        int right = merged[mid - 1].second;
        int A = ask(left, n), B = ask(1, right);
        ans = max(ans, min(A, B));
        if (A > B) l = mid + 1;
        else r = mid - 1;
    }

    cout << "! " << ans << endl;
}

int main() {
    // ios::sync_with_stdio(false);
    // cin.tie(nullptr), cout.tie(nullptr);

    int t; cin >> t;
    while (t -- ) MuBai();

    return 0;
}

// 0 3 1 2
// 3 5 0 1 4 2
// 0 1 2 3