牛客周赛 Round 110 E,F题解

E、小苯的数字变换

题意：

小苯在研究一种特殊的数字变换。对于一个正整数 \(x\)，定义一个数字的“根”为不断将其各位数字相加直到得到个位数。例如：

\[\text{根}(38) = 3 + 8 = 11 \rightarrow 1 + 1 = 2 \]

\[\text{根}(999) = 9 + 9 + 9 = 27 \rightarrow 2 + 7 = 9 \]

现在给定一个数字串 \(x\)，请你求出：所有 \(x\) 的连续子区间代表的十进制数字（去掉前导 0 后）的 “根” 之和。

思路：

考虑\(dp\)
\(dp[i][j]\)表示以第\(i\)个数字结尾,“根”的和为\(j\)的子序列个数
具体细节见代码

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define ce cerr
#define ull unsigned long long
#define lll __int128
#define PII pair<int, int>
#define PLL pair<long ,long>

using namespace std;

const int inf = 0x3f3f3f3f;
const ll iinf = 1e18;

//cin.ignore(std::numeric_limits< streamsize >::max(), '\n');
int t;

void solve() {
	 string s;
	 cin >> s;
	 int n = s.size ();
	 s=  ' ' + s;
	 vector<ll> a (n + 1);
	 vector<vector<ll> > dp (n + 1, vector<ll> (10, 0));
	 for (int i = 1; i <= n; ++i) {
	 	 a[i] = (int) s[i] - '0';
	 }
	 // dp[i][j] : 第i个数字结尾，“根”之和为j的连续子区间的个数
	 for (int i = 1; i <= n; ++i) {
	 	 for (int j = 0; j <= 9; ++j) {
	 	 	 int num = s[i] - '0';
	 	 	 int temp = num + j;
	 	 	 if (temp >= 10) temp -= 9;
	 	 	 dp[i][temp] += dp[i - 1][j];
	 	 }
	 	 dp[i][a[i]] ++;
	 }
	 ll res = 0;
	 for (int i = 1; i <= n; ++i) {
	 	 for (int j = 0; j <= 9; ++j) {
	 	 	 res += dp[i][j] * j;
	 	 }
	 }
	 cout << res << "\n";
}
int main() {
	 ios::sync_with_stdio (false);
	 cin.tie(NULL);
	 cout.tie(NULL);
	 t = 1;
	 cin >> t;
	 while (t --) {
	 	 solve();
	 }
	 return 0;
}

F、小苯的序列合并

题意：

给定长度为 \(n\) 的序列 \(a\)，你可以对 \(a\) 做如下操作任意次：

• 选择一个下标 \(i \ (1 \leq i < |a|)\)，将 \(a_i\) 与 \(a_{i+1}\) 合并起来，结果为 \(a_i \oplus a_{i+1}\)。（其中 \(\oplus\) 表示按位异或运算符，\(|a|\) 表示 \(a\) 当前的长度。）

所有操作结束后，小苯希望你最大化最终 \(a\) 中所有数字的按位与，即 AND（&）值，请你算一下这个最大值是多少吧。

思路：

关键点:最优解最多只会划分成两段（进行&的段数\(\leq 2\)）
对于三个数字一定有：\(x_1 \oplus x_2 \oplus x_3 >= x_1 \& x_2 \& x_3\)(这里异或顺序不定)
所以，对于大于等于三段的分段方法，一定能够通过相邻三个数字之间不断异或，得到最终一个或者两个数字进行与运算

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define ce cerr
#define ull unsigned long long
#define lll __int128
#define PII pair<int, int>
#define PLL pair<long ,long>

using namespace std;

const int inf = 0x3f3f3f3f;
const ll iinf = 1e18;

//cin.ignore(std::numeric_limits< streamsize >::max(), '\n');
int t;

void solve() {
	 int n;
	 cin >> n;
	 vector<ll> a (n + 1);
	 vector<ll> b (n + 1);
	 for (int i = 1; i <= n; ++i) {
	 	 cin >> a[i];
	 	 b[i] = b[i - 1] ^ a[i];
	 }
	 ll res = b[n];
	 for (int i = 0; i <= n; ++i) {
	 	 //ce << b[i] <<" " << (b[n] ^ b[i]) << "\n";
	 	 res = max (res, b[i] & (b[n] ^ b[i]));
	 }
	 cout << res << "\n";
}
int main() {
	 ios::sync_with_stdio (false);
	 cin.tie(NULL);
	 cout.tie(NULL);
	 t = 1;
	 cin >> t;
	 while (t --) {
	 	 solve();
	 }
	 return 0;
}