#寒假集训[20200111-1]

scanf正则表达式

scanf("%s",%[0-9])//读入的为0-9的字符，读到非0-9时即停止
scanf("%s",&[^\r\n])//加^意味着不读后面的字符，所以为读入知道读到换行符

（常用函数：m=unique(a,a+n)-a;即去重，返回去重后最后一个元素位置；前提是数组有序；复杂度O(n))

JAVA在竞赛中主要应用于高精度&进制转换，因为有一个类型为BigInteger，但运行速度慢，时限为C的2-3倍
eg.

import java.io.*;
import java.util.*;
public calss Main
{
    public static void main(String[] args)
    {
        Scanner cin=new Scanner(System.in);
        while (cin.hasNext())
        {
            int a=cin.nextInt();
            System.out.println(a);
        }
    }
}

hasNext()
nextInt()
next()
nextLine()
nextBigInteger()
System.out.print()
System.out.println()

DecimalFormat fd=new DecimalFormat(#.00#)

二分：
eg1.给出浮点数x，求sqrt(x)

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define eps 0.0000001
using namespace std;
double x,l,r,mid;

int main()
{
	scanf("%lf",&x);
	l=0,r=max(x,1.0);//因为若x小于1，就错误了……
	while (r-l>eps)
	{
		mid=(l+r)/2;
		if (mid*mid<=x) l=mid;
		else r=mid; 
	}
	printf("%lf\n",mid);
	return 0;
}

eg2.查找一个有序数组中特定元素第一次出现和最后一次出现的位置
（二分查找略）

upper_bound(a,a+n,b)
lower_bound(a,a+n,b)

eg3.给定四个长度为n的数组，从每个数组中取一个值有多少种选择方案使四个值的和为0（n<4000）
题解：
因为\(n^2\)很小（并且主题为二分），所以考虑将前两个数组和后两个数组分别合并为一个\(n^2\)的数组，然后进行二分查找
注意：需要注意在找时要看内个元素出现了几次
另：将两个\(n^2\)的数组排序后可以不用二分查找，利用双指针O(\(n^2\))实现即可（首指针升序记录第一个数组找到哪，尾指针降序记录第二个数组找到哪）

eg4.给定一个二维数组A，相邻的两个元素保证右侧的大于左侧的，下侧的大于上侧的，查找x是否出现在此数组中（nm）
题解：
1、每一行或每一列（小的内个）均二分一次……复杂度O(min(n,m)log)
2、从矩阵的右上角开始找，向左即为减小，向下即为增大，即出现一条分界线，界线上为小于x的元素，界线下为大于x的元素，复杂度O(n+m)

eg4.给定一个数组A[1..n]，找出一个位置使得其相邻位置的值都比当前位置小，假定A[0]=A[n+1]=-∞
题解：
将数组差分，因为我们可以证明两侧均为-∞时一定存在峰值，即两侧为-时中间一定有答案。所以每次选取中间的值，如果为-则在左半部分找，如果为+则在右边部分找

eg5.设将一个数组整体右移，后侧数据移到前侧，定义为数组的旋转。给定一个可能被旋转过的单调递增数组，求该数组的最小值
题解：
首先判断是否被旋转过：第一个值与最后一个值比较
每次取中间值，若小于第一个值则r=mid，否则l=mid

二分答案（最小值最大，最大值最小）：
eg1.给出n个石头，给出到起点的距离。问去掉n个中的m个，使其间距的最小值最大
题解：
终极之河中跳石头，略。

eg2.有一些衣服，每件衣服有一定水量，有一个烘干机，每次可以烘一件衣服，每分钟可以烘干k件衣服。每件衣服如果不在烘干机里每分钟可以蒸发一滴水。问最少需要多少时间烘干所有衣服。
题解：
高中某一次模拟的T1，略。

eg3.给定n个物品，每个物品两个属性A与B。选取k个物品使得这些物品的A值之和除以B值之和最大。
题解：
01分数规划
1、二分答案，每次对于当前mid按A-mid*B降序排序，从大向小取k个，看和是否大于等于0。//sum(A)/sum(b)>=mid
复杂度O(nlognlogn)
2、

nth_element(a,a+n,k)//O(n)
//将数组中前k大的元素放在前k个位置，但不保证顺序

三分：
要求单峰。
注：单峰函数倒数单调，所以三分不方便时可求导后二分

mid=(l+r)/2;
midmid=(mid+r)/2;

黄金分割三分，经实践，跑得最快

midl=l+(r-l)*0.382;
midr=l+(r-l)*0.618;

eg1.给定一个开口向上的二次函数，设f(x)为这n个二次函数的最大值，求f(x)的极小值点
题解：
f(x)一定是一个单峰函数，所以三分后每次暴力取min即可

eg2.给定一个序列A，一个区间的poorness定义为这个区间内和的绝对值，weakness等于所有区间最大的poorness。求一个x使序列A全部减x后weakness最小。（n<=2e5）
题解：令f(x)=weakness，则f(x)为一个单峰函数（开口向上），三分求极值即可

eg3.给定x,求(\(x\)+\(x^2\)+\(x^3\)+...+\(x^y\))%p,(x,y<1e9，p>1e9)
题解：
1、利用等比数列求和及求逆元
2、若x为矩阵A呢？（不能用逆元）
利用ksm二分的思想，将其递归处理
eg.\(x+x^2+x^3+x^4\)

eg4.给定两个n位的大整数，求乘积，要求复杂度小于O(n^2)
题解：
折半，将两个大整数均分为前n/2位和后n/2位，变为4次(n/2)^2的乘法。
\(X=AB,Y=CD\)
\(X*Y=(A*2^{n/2}+B)(C*2^{n/2})=AC*2^{n}+(AD+BC)^{n/2}+BD*2^{n}\)
T(n)=4*T(n/2)+O(n);//Master定理求解复杂度问题，可知T(n)=O(\(n^2\))
所以还需要优化。

wqs二分
eg.给定n个物品，每个物品具有体积与价值，给定背包容量允许的情况下，选取不超过k个物品，可以收获的最大价值。（n<500,V<10000）
题解：
将每个物品的价值加x，背包容量加kx，每次做nv的背包可以知道选了多少个物品，随着x的增大，选的物品变少，最后得到答案。

eg2.一条直线上有n个村庄，给出每个村庄的坐标（整数）。要在这条直线上选k个地方建雕像，使得每个村庄到离其最近的雕像的距离的和最小，输出最小的和。（n<100000）
题解：
对每个雕像增加一个代价x，二分x来建雕像以控制建雕像的个数。