曹冲养猪

【题目描述】
自从曹冲搞定了大象以后，曹操就开始捉摸让儿子干些事业，于是派他到中原养猪场养猪，可是曹冲满不高兴，于是在工作中马马虎虎，有一次曹操想知道母猪的数量，于是曹冲想狠狠耍曹操一把。举个例子，假如有16 头母猪，如果建了3 个猪圈，剩下1 头猪就没有地方安家了。如果建造了5 个猪圈，但是仍然有1 头猪没有地方去，然后如果建造了7 个猪圈，还有2 头没有地方去。你作为曹总的私人秘书理所当然要将准确的猪数报给曹总，你该怎么办？
【输入】
第一行包含一个整数n (n <= 10) – 建立猪圈的次数，解下来n 行，每行两个整数ai, bi( bi <= ai <= 1000), 表示建立了ai 个猪圈，有bi 头猪没有去处。你可以假定ai,aj 互质.
【输出】
输出包含一个正整数，即为曹冲至少养母猪的数目。
样例输入
33
1
5 1
7 2
样例输出
16

 

 

【分析】

这明显就是一道中国剩余定理的板子题吗！

然而我并不会中国剩余定理，为此现学了一下……

 

所谓的中国剩余定理，通式就是这个

解法呢，首先我们要构造一个 L[i], L[i] 满足 L[i] % i == 1 && L[i] % j == 0 (j != i)。（i 就是 上面通式中的 a）

构造完这个 L[i] 后，ans =  (∑ L[i] * ai (i : 1 -> n) )/ (m₁ * m₂ * …… * mn)。为什么呢，这要慢慢解释。

 

先具体说一下怎么求 L[i] .

L[i] 需要满足两个条件，我认为其中第二个条件比较好办：只要预先将所有的m都乘起来(设为M)，然后除以 i ，这样 M 满足 M% j == 0(j != i) && M % i != 0。此时L[i]已经完成一半了,记录一下为mul[i]。

接下来要使 L[i] % i == 1。一种方法是求逆元。因为 L[i] ≡ 1 (mod i)，我们可令 mul[i] * x ≡ 1 (mod i)，那么 mul[i] 和 x 互为 mod i 下的逆元。设法求 x 即可。

mul[i] * x ≡ 1 (mod i) 可变形为 mul[i] * x - i * y = 1,这样的话就可以用 exgcd 求 x 了。这样 L[i] 就彻底解决了。

 

再看看 ans 的求法。

首先对于 L[i] * ai ≡ ai (mod mi) ,而对于任意的 j (j <= n && j != i) L[i] * ai ≡ 0 (mod mj)，所以

               x = L[1] * a1 + L[2] * a2 + …… + L[n] * an = L[i] *ai + 0 + 0 + …… + 0 (mod mi) = ai (mod mi)。

说明 x 是通式的一个解。

另外，假设  和 都是通式的解，那么：

              

则

              M∣ - 

 

这里面用到了这么一个定理： 若 c | a, b | a, 那么 lcm(b, c) | a

而在这道题中，mi 互质，所以 (m1 * m2 * …… * mn) |  - ，即 M |  - 

 

所以通式的任意两个解相差 M 的整数倍

那么所有解的形式为

              L[1] * a1 + L[2] * a2 + …… + L[n] * an + k * M 

所以最小整数解就是 mod M 下的解。

 

 

上代码

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 15;
int n;
ll L[maxn], b[maxn], p[maxn], multi[maxn], M = 1;
ll d = 1, x, y;
ll ans = 0;
ll exgcd(ll a, ll b, ll& d, ll& x, ll& y)
{
    if(!b) {d = a; x = 1; y = 0;}
    else {exgcd(b, a % b, d, y, x); y -= x * (a / b);}
}
int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        scanf("%lld%lld", &p[i], &b[i]);
        M *= p[i];
    }
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
    {
         multi[i] = M / p[i];
        exgcd(multi[i], p[i], d, x, y);
        x = (x + p[i]) % p[i];
        L[i] = multi[i] * x;
        ans += (L[i] * b[i]); 
    }
    ans %= M;
    printf("%lld\n", ans);
}