CF1325D Ehab the Xorcist

传送门


题意：让你构造最短的一个数组，满足所有元素的异或和为\(u\)，和为\(v\).


这题典型的cf题，思维难度挺大，然后代码量挺少。

这题应该是充分地锻炼了我的位运算本领吧。

首先要观察到这么个性质，就是\(u\)和\(v\)必须奇偶相同（显然，二进制最低位1的奇偶性相同），那么如果\(u > v\)，或\(u,v\)奇偶性不同，都输出-1.

除以上情况外，令\(x=\frac{v-u}{2}\)，那么序列\(\{u,x,x\}\)必定是符合要求的（好妙啊，我咋就没想出来）。因此我们只要判断是否能由两个数构造出来，即\(\exist a, b, \textrm{s.t.} a \bigoplus b = u, a + b = v\).

考虑到异或实际上就是不进位的加法，而利用按位与操作，我们能知道哪些位会进位，那么就有\(a+b=a \bigoplus b + 2 * a \textrm{&} b\)，因此\(a \& b = \frac{a + b - a \bigoplus b}{2}=\frac{v-u}{2}=x\)（神奇吧）

那么什么时候存在这样的\(a,b\)呢？有上面推论可知，\(a\& b=x, a \bigoplus b = u\)，那么当\(x\)某一位为1时，\(u\)这一位必须是0；而当\(x\)某一位为0时，\(u\)这一位随意。所以当\(x \& u = 0\)时，\(a,b\)存在；否则答案只能是\(\{u,x,x\}\)。

那\(a,b\)如何构造？会发现，当\(x \& u=0\)时，\(x+u=x \bigoplus u\)，因此构造\(\{x+u,x\}\)就行了！

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cctype>
#include<vector>
#include<queue>
#include<assert.h>
#include<ctime>
using namespace std;
#define enter puts("") 
#define space putchar(' ')
#define Mem(a, x) memset(a, x, sizeof(a))
#define In inline
#define forE(i, x, y) for(int i = head[x], y; ~i && (y = e[i].to); i = e[i].nxt)
typedef long long ll;
typedef double db;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const db eps = 1e-8;
//const int maxn = ;
In ll read()
{
	ll ans = 0;
	char ch = getchar(), las = ' ';
	while(!isdigit(ch)) las = ch, ch = getchar();
	while(isdigit(ch)) ans = (ans << 1) + (ans << 3) + ch - '0', ch = getchar();
	if(las == '-') ans = -ans;
	return ans;
}
In void write(ll x)
{
	if(x < 0) x = -x, putchar('-');
	if(x >= 10) write(x / 10);
	putchar(x % 10 + '0');
}
In void MYFILE()
{
#ifndef mrclr
	freopen(".in", "r", stdin);
	freopen(".out", "w", stdout);
#endif
}

int main()
{
//	MYFILE();
	ll u = read(), v = read();
	if(u > v || (u & 1) != (v & 1)) puts("-1");
	else if(u == v)
	{
		if(u) printf("1\n%lld\n", u);
		else puts("0");
	}
	else
	{
		ll x = (v - u) >> 1;
		if(x & u) printf("3\n%lld %lld %lld\n", u, x, x);
		else printf("2\n%lld %lld\n", u + x, x);
	}
	return 0;
}