生成函数入门题*3
最近在外面集训，生成函数这东西被提了好多次，于是我就觉得这东西应该挺重要的，最好学一下。
但是现在我只会写一些入门题。
啊对了，这有几篇不错的博客：
1.生成函数(母函数)——目前最全的讲解
2.组合数学之三 —— 生成函数
3.兔哥的趣谈生成函数 =v=
那么就先看第一道题吧。
HDU1028
像第一篇博客一样，举个例子：比如数字1，\(x ^3\)表示用三个1有1种方案；或者数字3,\(x ^ 6\)表示用2个3有一种方案。
也就是说，前面的系数表示方案，后面的指数表示凑成的这个值。
那么这个的生成函数就是\(f(x) = (1 + x + x ^ 2 + x ^ 3 + \ldots + x ^ n) + (1 + x ^ 2 + x ^ 4 + \ldots + x ^ {2n}) + \ldots + (1 + x ^ n + x ^ {2n} + \ldots + x ^ {n * n})\)
把这个算出来后，指数为\(n\)的那一项的系数就是答案。
至于怎么算，就是暴力的多项式乘以多项式，单次\(O(n ^ 2)\)，总复杂度\(O(n ^ 3)\)。
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cctype>
#include<vector>
#include<stack>
#include<queue>
using namespace std;
#define enter puts("")
#define space putchar(' ')
#define Mem(a, x) memset(a, x, sizeof(a))
#define In inline
typedef long long ll;
typedef double db;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const db eps = 1e-8;
const int maxn = 125;
inline ll read()
{
ll ans = 0;
char ch = getchar(), last = ' ';
while(!isdigit(ch)) last = ch, ch = getchar();
while(isdigit(ch)) ans = (ans << 1) + (ans << 3) + ch - '0', ch = getchar();
if(last == '-') ans = -ans;
return ans;
}
inline void write(ll x)
{
if(x < 0) x = -x, putchar('-');
if(x >= 10) write(x / 10);
putchar(x % 10 + '0');
}
int n;
ll f[2][maxn];
int main()
{
while(scanf("%d", &n) != EOF)
{
Mem(f, 0);
fill(f[0], f[0] + n + 1, 1);
for(int i = 2; i <= n; ++i)
{
for(int j = 0; j <= n; ++j)
for(int k = 0; j + k <= n; k += i)
f[1][j + k] += f[0][j];
for(int j = 0; j <= n; ++j) f[0][j] = f[1][j], f[1][j] = 0;
}
write(f[0][n]), enter;
}
return 0;
}
HDU1085
这道题是不是几乎和上一题一样？
嗯是的，只不过这一次规定了数目。
那也没影响啊，\(f(x) = (1 +x +x ^ 2 + \ldots + x ^ {num_1}) + (1 + x ^ 2 + x ^ 4 +\ldots + x ^ {2 * num_2}) + (1 + x ^ 5 + x ^ {10} + \ldots + x ^ {5 * num_5})\)
求出来后，答案就是最小的系数为0的项。
maxn大小要开到8000多。
注意这道题用bool类型即可，用int乘的话还会爆，导致像我一样TLE什么的。
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cctype>
#include<vector>
#include<stack>
#include<queue>
using namespace std;
#define enter puts("")
#define space putchar(' ')
#define Mem(a, x) memset(a, x, sizeof(a))
#define In inline
typedef long long ll;
typedef double db;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const db eps = 1e-8;
const int maxn = 8e3 + 5;
inline ll read()
{
ll ans = 0;
char ch = getchar(), last = ' ';
while(!isdigit(ch)) last = ch, ch = getchar();
while(isdigit(ch)) ans = (ans << 1) + (ans << 3) + ch - '0', ch = getchar();
if(last == '-') ans = -ans;
return ans;
}
inline void write(ll x)
{
if(x < 0) x = -x, putchar('-');
if(x >= 10) write(x / 10);
putchar(x % 10 + '0');
}
int a[3] = {1, 2, 5}, num[3];
bool f[2][maxn];
int main()
{
while(scanf("%d%d%d", &num[0], &num[1], &num[2]) && num[0] + num[1] + num[2] > 0)
{
Mem(f, 0);
fill(f[0], f[0] + num[0] + 1, 1);
for(int i = 1; i <= 2; ++i)
{
for(int j = 0; j < maxn; ++j)
for(int k = 0; k <= num[i]; ++k)
if(f[0][j]) f[1][j + k * a[i]] = 1;
for(int j = 0; j < maxn; ++j) f[0][j] = f[1][j], f[1][j] = 0;
}
for(int i = 0; i < maxn; ++i) if(!f[0][i]) {write(i), enter; break;}
}
return 0;
}
HDU1171
题意就是有n种东西，每一个的权值为v，有m个。将这些东西分成两拨，让权值和尽量接近。
生成函数很容易就能写出来，求完后从\(\frac{sum}{2}\)开始向前查，第一个出现\(i\)的就是答案。
要注意到每一循环sum是累加的，否则会超时……
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cctype>
#include<vector>
#include<stack>
#include<queue>
using namespace std;
#define enter puts("")
#define space putchar(' ')
#define Mem(a, x) memset(a, x, sizeof(a))
#define In inline
typedef long long ll;
typedef double db;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const db eps = 1e-8;
const int maxN = 3e5 + 5;
inline ll read()
{
ll ans = 0;
char ch = getchar(), last = ' ';
while(!isdigit(ch)) last = ch, ch = getchar();
while(isdigit(ch)) ans = (ans << 1) + (ans << 3) + ch - '0', ch = getchar();
if(last == '-') ans = -ans;
return ans;
}
inline void write(ll x)
{
if(x < 0) x = -x, putchar('-');
if(x >= 10) write(x / 10);
putchar(x % 10 + '0');
}
int n, sum = 0;
bool f[2][maxN];
int main()
{
while(scanf("%d", &n) && n > 0)
{
Mem(f, 0);
int v = read(), num = read();
sum = v * num;
for(int i = 0; i <= num; ++i) f[0][v * i] = 1;
for(int i = 1; i < n; ++i)
{
int v = read(), num = read();
for(int j = 0; j <= sum; ++j)
for(int k = 0; k <= num; ++k) f[1][j + k * v] += f[0][j];
sum += v * num;
for(int j = 0; j <= sum; ++j) f[0][j] = f[1][j], f[1][j] = 0;
}
for(int i = (sum >> 1); i >= 0; --i) if(f[0][i])
{
write(sum - i), space, write(i), enter;
break;
}
}
return 0;
}
