高等数学 1.4无穷小与无穷大

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• 一、无穷小
• 二、无穷大

一、无穷小

定义：如果函数 \(f(x)\) 当 \(x \to x_0\) （或 \(x \to \infty\)）时的极限为零，那么称函数 \(f(x)\) 为当 \(x \to x_0\) （或 \(x \to \infty\)）时的无穷小.

特别地，以零为极限的数列 \(\{ x_n \}\) 称为 \(n \to \infty\) 时的无穷小。

注意：不要把无穷小与很小的数（例如百万分之一）混为一谈，因为无穷小是这样的函数，在\(x \to x_0\) （或 \(x \to \infty\)）的过程中，这个函数的绝对值小于任意给定的正数 \(\varepsilon\) ，而很小的数如百万分之一，就不能小于任意给定的正数 \(\varepsilon\) ，例如取 \(\varepsilon\) 等于千万分之一，则百万分之一就不能小于这个给定的 \(\varepsilon\) 。但零是可以作为无穷小的唯一的常数，因为如果 \(f(x) \equiv 0\) ，那么对于任意给定的 \(\varepsilon > 0\) 总有 \(\vert f(x) \vert < \varepsilon\) 。

定理：在自变量的同一变化过程 \(x \to x_0\) （或 \(x \to \infty\)）中，函数 \(f(x)\) 具有极限 \(A\) 的充分必要条件是 \(f(x) = A + \alpha\) ，其中 \(\alpha\) 是无穷小。

二、无穷大

定义：设函数 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 的某一去心邻域内有定义（或 \(\vert x \vert\) 大于某一正数时有定义）。如果对于给定的正数 \(M\) （不论它多么大），总存在正数 \(\delta\) （或正数 \(X\)），只要 \(x\) 适合不等式 \(0 < | x - x_0 | < \delta\) （或 \(| x | > X\)）对应的函数值 \(f(x)\) 总满足不等式

\[| f(x) | > M \]

那么称函数 \(f(x)\) 是当 \(x \to x_0\) （或 \(x \to \infty\)）时的无穷大。

按函数极限的定义来说，当\(x \to x_0\) （或 \(x \to \infty\)）时的无穷大的函数 \(f(x)\) 的极限是不存在的。但为了便于叙述函数的这一性态，我们也说“函数的极限是无穷大”，并记作

\[\lim_{x \to x_0} f(x) = \infty \quad (或 \lim_{x \to \infty} f(x) = \infty) \]

如果在无穷大的定义中，把 \(| f(x) | > M\) 换成 \(f(x) > M\) （或 \(f(x) < -M\)），就记作

\[\lim_{x \to x_0(x \to \infty)} f(x) = + \infty \quad (或 \lim_{x \to x_0(x \to +\infty)} f(x) = - \infty) \]

必须注意，无穷大（\(\infty\)）不是数，不可与很大的数（如1000万、1亿等）混为一谈。

一般地说，如果 \(\lim \limits_{x \to x_0} = \infty\) ，那么直线 \(x = x_0\) 是函数 \(y = f(x)\) 的图形的铅直渐近线。

定理：在自变量的同一变化过程中，如果 \(f(x)\) 为无穷大，那么 \(\cfrac{1}{f(x)}\) 为无穷小；反之，如果 \(f(x)\) 为无穷小，且 \(f(x) \neq 0\) 为无穷大。