一、函数极限的定义

1.自变量趋于有限值时函数的极限

定义：设函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 的某一去心邻域内有定义。如果存在常数 \(A\) ，对于任意给定的正数 \(\varepsilon\) （不论它多么小），总存在正数 \(\delta\) ，使得当 \(x\) 满足不等式 \(0 < | x - x_0 | < \delta\) 时，对应的函数值 \(f(x)\) 都满足不等式

那么常数 \(A\) 就叫做函数 \(f(x)\) 当 \(x \to x_0\) 时的极限，记作

可简单表述为

注：定义中 \(0 < \vert x - x_0 \vert\) 表示 \(x \neq x_0\) ，所以 \(x \to x_0\) 时 \(f(x)\) 有没有极限，与 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 是否有定义并无关系。

在 \(x \to x_0\) 时函数 \(f(x)\) 的极限概念中，\(x\) 既从 \(x_0\) 的左侧也从 \(x_0\) 的右侧趋于 \(x_0\) 的。但有时只能或只需考虑 \(x\) 仅从 \(x_0\) 的左侧趋于 \(x_0\) （记作 \(x \to x_0^-\)）的情形，或 \(x\) 仅从 \(x_0\) 的右侧趋于 \(x_0\) （记作 \(x \to x_0^+\)）的情形。在 \(x \to x_0^-\) 的情形，\(x\) 在 \(x_0\) 的左侧，\(x < x_0\) 。在 \(\lim \limits_{x \to x_0} f(x) = A\) 的定义中，把 \(0 < | x - x_0 | < \delta\) 改为 \(x_0 - \delta < x < x_0\) ，那么 \(A\) 就叫做函数 \(f(x)\) 当 \(x \to x_0\) 时的左极限，记作

类似地，在 \(\lim \limits_{x \to x_0} f(x) = A\) 的定义中，把 \(0 < | x - x_0 | < \delta\) 改为 \(x_0 < x < x_0 +\delta\) ，那么 \(A\) 就叫做函数 \(f(x)\) 当 \(x \to x_0\) 时的右极限，记作

左极限与右极限统称为单侧极限。

函数 \(f(x)\) 当 \(x \to x_0\) 时极限存在的充分必要条件是左极限及右极限各自存在且相等，即

即使 \(f(x_0^-)\) 和 \(f(x_0^+)\) 都存在，但若不相等，则 \(\lim \limits_{x \to x_0} f(x)\) 也不存在。

2.自变量趋于无穷大时函数的极限

定义： 设函数 \(f(x)\) 当 \(\vert x \vert\) 大于某一正数时有定义。如果存在常数 \(A\) ，对于任意给定的正数 \(\varepsilon\) （不论它多么小），总存在着正数 \(X\) ，使得当 \(x\) 满足不等式 \(\vert x \vert > X\) 时，对应的函数值 \(f(x)\) 都满足不等式

那么常数 \(A\) 就叫做函数 \(f(x)\) 当 \(x \to \infty\) 时的极限，记作

可简单表述为

从几何上来说， \(\lim \limits_{x \to \infty} f(x) = A\) 的意义是：作直线 \(y = A - \varepsilon\) 和 $ y = A + \varepsilon $ ，总有一个正数 \(X\) 存在，使得当 \(x < -X\) 或 \(x > X\) 时，函数 \(y = f(x)\) 的图像位于这两直线之间。这时，直线 \(y = A\) 是函数 \(y = f(x)\) 的图像的水平渐近线。

二、函数极限的性质

定理1 （函数极限的唯一性）：如果 \(\lim \limits_{x \to x_0} f(x)\) 存在，那么这极限唯一。

定理2（函数极限的局部有界性）：如果 \(\lim \limits_{x \to x_0} f(x) = A\) ，那么存在常数 \(M > 0\) 和 \(\delta > 0\) ，使得当 \(0 < \vert x - x_0 \vert < \delta\) 时，有 \(\vert f(x) \vert \leqslant M\) 。

定理3（函数极限的局部保号性）：如果 \(\lim \limits_{x \to x_0} f(x) = A\) ，且 \(A > 0\) （或 \(A < 0\)），那么存在常数 \(\delta >０\) ，使得当　\(0 < \vert x - x_0 \vert < \delta\) 时，有 \(f(x) > 0\) （或 \(f(x) < 0\)）

定理3'：如果 \(\lim \limits_{x \to x_0} f(x) = A (A \neq 0)\) ，那么就存在着 \(x_0\) 的某一去心邻域 \(\mathring{U} (x_0)\) ，当 \(x \in \mathring{U}(x_0)\) 时，就有 \(\vert f(x) \vert > \cfrac{\vert A \vert}{2}\) 。

推论：如果在 \(x_0\) 的某去心邻域内 \(f(x) \geqslant 0\) （或 \(f(x) \leqslant 0\)），而且 \(\lim \limits_{x \to x_0} f(x) = A\) ，那么 \(A \geqslant 0\) （或 \(A \leqslant 0\)）。

定理4（函数极限与数列极限的关系）：如果极限 \(\lim \limits_{x \to x_0} f(x)\) 存在， \(\{ x_n \}\) 为函数 \(f(x)\) 定义域内任一收敛于 \(x_0\) 的数列，且满足 \(x_n \neq x_0 (n \in \mathbb{N}_+)\) ，那么相应的函数值数列 \(\{ f(x_n) \}\) 必收敛，且 \(\lim \limits_{n \to \infty} f(x_n) = \lim \limits_{x \to x_0} f(x)\) 。