《道路工程》——（十）路线坐标与方位角计算

路线坐标与方位角计算

目录

• 路线坐标与方位角计算
  • 用控制点坐标和直线段斜率确定直线段
  • 道路曲线段的方程和坐标计算
    • 确定偏角
    • 圆曲线要素计算
    • 圆曲线各特征点坐标计算
    • 里程桩的编制

高等级公路及城市道路的设计与施工放样，均需用坐标系统，在地形图上，城市三角网导线点，图根导线点均测有坐标，路网规划阶段即定出控制点的坐标及路线走向方位角。沿线建筑物据此也测有坐标，以保证路线与沿线建筑物的相对关系。在设计和测设中常用解析法（即坐标法）定线：通常先在地形图上定线，计算直线段和曲线段的起讫点、转折点和某些特征点的坐标值，然后按坐标进行实地放样。以使点线关系建立在可靠的数据基础上，获得较高的精确度。

用控制点坐标和直线段斜率确定直线段

一条路线是由若干相交的直线段组成的。地形图上定线后，可对每段直线选定两个控制点或一个控制点和该线段的方位角（即从正北 \(\displaystyle X\) 轴方向顺时针量到测线上的夹角，见图 4-14）。

道路直线方程为

\[y = Kx + b \nonumber \]

式中， \(\displaystyle K\) 为斜率。

如已知直线上两控制点 \(\displaystyle (x_1, y_1)、(x_2, y_2)\) ，则斜率：

\[K = \cfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \nonumber \]

\(\displaystyle b\) 为直线与 \(\displaystyle Y\) 轴的截距：

\[b = y_1 - Kx_1 = y_1 - \cfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} x_1 \nonumber \]

则直线方程为

\[y = \cfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} x + y_1 - \cfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} x_1 \nonumber \]

道路曲线段的方程和坐标计算

确定偏角

如已知两直线的方程为 \(\displaystyle y = K_1 x + b_1\) 和 \(y = K_2 x + b_2\) ，按联立方程，可求得两线交点 \(\displaystyle JD\) 的坐标为 \(\displaystyle (x_1, y_1)\) 。

由于 \(\displaystyle K_1 = \tan \theta_1, K_2 = \tan \theta_2\) ，可按公式 \(\displaystyle \theta = \arctan{\cfrac{\Delta y}{\Delta x}}\) 算出两直线的方位角，两线的交角即路线的偏角公式如下：

\[\alpha = \theta_1 - \theta_2 \nonumber \]

\(\displaystyle \alpha\) 为正值时，路线向左偏； \(\displaystyle \alpha\) 为负值时，路线向右偏。

圆曲线要素计算

道路的圆曲线要素可先选用 \(\displaystyle R\) 值，根据几何关系求得（图 4-15）：

切线长

\[T = R \tan{\cfrac{\alpha}{2}} \nonumber \]

外距

\[E = R \left( \sec{\cfrac{\alpha}{2}} - 1 \right) \nonumber \]

弧长

\[L = \cfrac{\pi}{180} R \alpha \nonumber \]

也可先按理想线位需要的外距 \(\displaystyle E\) 或切线长 \(\displaystyle T\) 为控制，反算 \(\displaystyle R\) 值。

圆曲线各特征点坐标计算

用 \(\displaystyle JD\) 坐标及曲线要素即可算得下列特征点坐标。

曲线起点 \(\displaystyle ZY\) 坐标：

\[\left.\begin{array}{l} x_{1}=x_{0}-T \cos \theta_{1} \\\ y_{1}=y_{0}-T \sin \theta_{1} \end{array}\right\} \nonumber \]

曲线终点 \(\displaystyle YZ\) 坐标：

\[\left.\begin{array}{l} x_{2}=x_{0}+T \cos \theta_{2} \\\ y_{2}=y_{0}+T \sin \theta_{2} \end{array}\right\} \nonumber \]

曲线中点 \(\displaystyle QZ\) 坐标：

\[\left.\begin{array}{l} x_{\text {中 }}=x_{0}+E \cos \theta_{0} \\\ y_{\text {中 }}=y_{0}+E \sin \theta_{0} \end{array}\right\} \nonumber \]

曲线上任意点 \(\displaystyle P\) 坐标：

\[\left.\begin{array}{l} x_{P}=x_{1}+d_{P} \cos \theta_{P} \\\ y_{P}=y_{1}+d_{P} \sin \theta_{P} \end{array}\right\} \nonumber \]

式中 \(\displaystyle \theta_P —— ZY 至 P 边之方位角\) ：

\[\theta_P = \theta_i \pm \Delta P \nonumber \]

\(\displaystyle d_P —— P 点距 ZY 的直线距离\) ：

\[d_P = 2R \sin{\Delta_P} \nonumber \]

式中 \(\displaystyle \Delta_P = \cfrac{1}{2} \left( \cfrac{l_P}{R} \times \cfrac{180^{\circ}}{\pi} \right) = 28.65 \cfrac{l_P}{R}\)

式中，\(\displaystyle l_P\) 为 \(\displaystyle P\) 点距直圆点 \(\displaystyle (ZY)\) 之圆弧长。

路线上主要桩点的坐标，可依路线前进方向依次计算，实例见图 4-16 中附表。也可以每个转点桩为原点进行计算（图 4-16）。

里程桩的编制

1. 直线段上里程桩的编制
   直线段上里程桩的编制在于求算两点间的间距 \(\displaystyle L_0\)。已知两点坐标，可算出坐标增量 \(\displaystyle \Delta x = x_2 - x_1, \Delta y = y_2 - y_1\) ，再由 \(\displaystyle K = \tan \theta\) 查得 \(\displaystyle \cos \theta\) 和 \(\displaystyle \sin \theta\) ，即可求出：

   \[L = \cfrac{\Delta x}{\cos \theta} \nonumber \]

   也可求出

   \[L = \cfrac{\Delta y}{\sin \theta} \text{（用以校核）} \nonumber \]

   还可求出 \(\displaystyle L = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}\)

   求得间距后，即可依次编里程桩。

2. 曲线上里程桩额编制
   直线上里程桩编制的 \(\displaystyle JD\) （转点）桩号后，则

   \[\begin{align} \text{圆曲线起点桩号} \quad &ZY \text{桩号} = JD \text{桩号} - T \nonumber \\\ \text{圆曲线起点桩号} \quad &YZ \text{桩号} = ZY \text{桩号} + T \nonumber \\\ \text{圆曲线起点桩号} \quad &QZ \text{桩号} = YZ \text{桩号} - \cfrac{L}{2} \nonumber \\\ \text{验算} \quad &JD\text{桩号} = QZ\text{桩号} + \cfrac{1}{2} (2T - L) \nonumber \end{align} \]