复数和复变函数
复数
复数 z = ( 0 , y ) = i y z=(0,y)=iy z=(0,y)=iy称为纯虚数，其中复数 ( 0 ， i ) (0，i) (0，i)称为虚单位。
复共轭： z ∗ = x − i y z^*=x-iy z∗=x−iy 与 z = x + i y z=x+iy z=x+iy 互为复共轭（ z ∗ z ∗ = x 2 + y 2 z*z^*=x^2+y^2 z∗z∗=x2+y2）。
复数的极坐标表示： z = x + i y = r ( cos θ + i sin θ ) z=x+iy=r(\cos \theta +i\sin \theta) z=x+iy=r(cosθ+isinθ) ，其中 r 、 θ r、\theta r、θ 分别是复数的模和辐角，复数 z ≠ 0 z \neq 0 z=0所对应的矢量 O z O z Oz与实轴正向的夹角 θ \theta θ称为复数 z z z的一个辐角。任一复数 z ≠ 0 z \neq 0 z=0有无穷多个辐角，记为 Arg z \operatorname{Arg} z Argz，对某一辐角 θ \theta θ，有 A r g z = θ + 2 k π , k = 0 , ± 1 , ± 2 , ⋯ Arg \ z=\theta+2 k \pi, k=0, \pm 1, \pm 2, \cdots Arg z=θ+2kπ,k=0,±1,±2,⋯，一般把其中属于 ( − π , π ] (-\pi, \pi] (−π,π]的辐角称为 Arg z \operatorname{Arg} z Argz的主值，或称为 z z z的主辐角，记为 arg z \arg z argz。
复数的乘法、除法运算：
x
1
+
i
y
1
x
2
+
i
y
2
=
(
x
1
+
i
y
1
)
(
x
2
−
i
y
2
)
(
x
2
+
i
y
2
)
(
x
2
−
i
y
2
)
=
x
1
x
2
+
y
1
y
2
x
2
2
+
y
2
2
+
i
y
1
x
2
−
x
1
y
2
x
2
2
+
y
2
2
\frac{x_{1}+\mathrm{i} y_{1}}{x_{2}+\mathrm{i} y_{2}}=\frac{\left(x_{1}+\mathrm{i} y_{1}\right)\left(x_{2}-\mathrm{i} y_{2}\right)}{\left(x_{2}+\mathrm{i} y_{2}\right)\left(x_{2}-\mathrm{i} y_{2}\right)}=\frac{x_{1} x_{2}+y_{1} y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}+\mathrm{i} \frac{y_{1} x_{2}-x_{1} y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}
x2+iy2x1+iy1=(x2+iy2)(x2−iy2)(x1+iy1)(x2−iy2)=x22+y22x1x2+y1y2+ix22+y22y1x2−x1y2
极坐标表示的复数的乘法、除法运算：
z
1
⋅
z
2
=
r
1
r
2
[
(
cos
(
θ
1
+
θ
2
)
+
i
sin
(
θ
1
+
θ
2
)
]
z_{1} \cdot z_{2}=r_{1} r_{2}\left[\left(\cos (\theta_{1} +\theta_{2})+i\sin (\theta_{1} +\theta_{2})\right]\right.
z1⋅z2=r1r2[(cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]
z 1 z 2 = z 1 ⋅ z 2 ∗ z 2 ⋅ z 2 ∗ = r 1 r 2 [ cos ( θ 1 − θ 2 ) + i sin ( θ 1 − θ 2 ) ] , z 2 ≠ 0 \frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{z_{1} \cdot z_{2}^{*}}{z_{2} \cdot z_{2}^{*}}=\frac{r_{1}}{r_{2}}\left[\cos \left(\theta_{1}-\theta_{2}\right)+i \sin \left(\theta_{1}-\theta_{2}\right)\right], \quad z_{2} \neq 0 z2z1=z2⋅z2∗z1⋅z2∗=r2r1[cos(θ1−θ2)+isin(θ1−θ2)],z2=0
欧拉公式：
e
i
θ
=
cos
θ
+
i
sin
θ
\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}=\cos \theta+\mathrm{i} \sin \theta
eiθ=cosθ+isinθ
因此复数又可表示为：
z
=
r
e
i
θ
z=r\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}
z=reiθ
指数表示的复数乘法、除法运算：
z
1
⋅
z
2
=
r
1
r
2
e
i
(
θ
1
+
θ
2
)
z
1
z
2
=
r
1
r
2
e
i
(
θ
1
−
θ
2
)
\begin{aligned} z_{1} \cdot z_{2} &=r_{1} r_{2} \mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\theta_{1}+\theta_{2}\right)} \\ \\\frac{z_{1}}{z_{2}} &=\frac{r_{1}}{r_{2}} \mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\theta_{1}-\theta_{2}\right)} \end{aligned}
z1⋅z2z2z1=r1r2ei(θ1+θ2)=r2r1ei(θ1−θ2)
复变函数
一个序列的极限必然是此序列的聚点，而且是唯一的聚点。
单连通区域：在区域内作任何闭合围道，围道内的点都属于该区域。
设区域 D ⊆ C D \subseteq \mathbb{C} D⊆C， 如果对于 D D D 内的每一个复数 z z z， 都有唯一 一个复数 w w w 与之对应， w w w 和 z z z 之 间的这种对应关系记为 f f f， 则称 f f f 为定义在 D D D 上的复变函数， 其中 z z z 是函数 f f f 的自变量， w w w 称为函数 f f f 在 z z z 点的函数值， 记为：
w
=
f
(
z
)
,
z
∈
G
w=f(z), \quad z \in G
w=f(z),z∈G
因为
z
=
x
+
i
y
,
w
=
u
+
i
v
z=x+\mathrm{i} y, w=u+\mathrm{i} v
z=x+iy,w=u+iv ， 所以
w
=
f
(
z
)
=
u
(
x
,
y
)
+
i
v
(
x
,
y
)
w=f(z)=u(x, y)+\mathrm{i} v(x, y)
w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)
因此复变函数
f
(
z
)
f(z)
f(z) 只不过是两个二元实函数
(
f
(f
(f 的实部
u
(
x
,
y
)
u(x, y)
u(x,y) 和虚部
v
(
x
,
y
)
)
v(x, y))
v(x,y)) 的有序组合。
无穷数列 { z n } \left\{z_{n}\right\} {zn} 也有一个特殊聚点–无穷远点 ∞ \infty ∞ ，无穷远点不在复平面 C \mathbb{C} C 内，包含无穷远点的复平面称为扩充的复平面，记作 C ‾ \overline{\mathbb{C}} C 。
为了更直观地表现无穷远点，可以引进复数球面(或称为 E i e m a n n Eiemann Eiemann 球面)
复变函数的性质
设
f
(
z
)
=
u
(
x
,
y
)
+
i
v
(
x
,
y
)
f(z)=u(x, y)+i v(x, y)
f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 在一点
z
=
x
+
i
y
z=x+\mathrm{i} y
z=x+iy 可微，则
f
′
(
z
)
=
lim
Δ
x
→
0
Δ
f
Δ
z
=
lim
Δ
x
→
0
Δ
y
→
0
Δ
u
+
i
Δ
v
Δ
x
+
i
Δ
y
Δ
u
=
u
(
x
+
Δ
x
,
y
+
Δ
y
)
−
u
(
x
,
y
)
Δ
v
=
v
(
x
+
Δ
x
,
y
+
Δ
y
)
−
v
(
x
,
y
)
f^{\prime}(z)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0 } \frac{\Delta f}{\Delta z}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0 \atop \Delta y \rightarrow 0} \frac{\Delta u+i \Delta v}{\Delta x+i \Delta y} \quad \begin{aligned} &\Delta u=u(x+\Delta x, y+\Delta y)-u(x, y) \\ &\Delta v=v(x+\Delta x, y+\Delta y)-v(x, y) \end{aligned}
f′(z)=Δx→0limΔzΔf=Δy→0Δx→0limΔx+iΔyΔu+iΔvΔu=u(x+Δx,y+Δy)−u(x,y)Δv=v(x+Δx,y+Δy)−v(x,y)
其中
Δ
z
\Delta z
Δz 按任意方式趋于
0
0
0如果选择两个特殊的方向趋于
0
0
0 ，则两极限结果必定也相同 (必要条件)。比如: 现让
Δ
z
\Delta z
Δz沿平行于实轴的方向趋于
0
0
0，则
f
′
(
z
)
=
lim
Δ
x
→
0
Δ
y
=
0
Δ
u
+
i
Δ
v
Δ
x
+
i
Δ
y
=
∂
u
∂
x
+
i
∂
v
∂
x
f^{\prime}(z)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0 \atop \Delta y=0} \frac{\Delta u+i \Delta v}{\Delta x+i \Delta y}=\frac{\partial u}{\partial x}+i \frac{\partial v}{\partial x}
f′(z)=Δy=0Δx→0limΔx+iΔyΔu+iΔv=∂x∂u+i∂x∂v
又让
Δ
z
\Delta z
Δz 沿平行于
y
y
y 轴的方向趋于
0
0
0，则
f
′
(
z
)
=
lim
Δ
x
=
0
Δ
y
=
0
Δ
u
+
i
Δ
v
Δ
x
+
i
Δ
y
=
−
i
∂
u
∂
y
+
∂
v
∂
y
f^{\prime}(z)=\lim _{\Delta x=0 \atop \Delta y=0} \frac{\Delta u+i \Delta v}{\Delta x+i \Delta y}=-i \frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial y}
f′(z)=Δy=0Δx=0limΔx+iΔyΔu+iΔv=−i∂y∂u+∂y∂v
两个极限相等，得到如下等式
∂
u
∂
x
=
∂
v
∂
y
,
∂
v
∂
x
=
−
∂
u
∂
y
(C-R条件)
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y} \quad \text { (C-R条件) }
∂x∂u=∂y∂v,∂x∂v=−∂y∂u (C-R条件)
-
柯西-黎曼条件( C a u c h y − R i e m a n n Cauchy-Riemann Cauchy−Riemann条件)是函数可导的必要条件
∂ u ∂ x = ∂ v ∂ y , ∂ v ∂ x = − ∂ u ∂ y \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y} ∂x∂u=∂y∂v,∂x∂v=−∂y∂u
-
复函数 f ( z ) = u + i v f(z)=u+i v f(z)=u+iv 在区域 D D D 内可导（解析） ⇔ \Leftrightarrow ⇔
(1) u ( x , y ) , v ( x , y ) u(x, y), v(x, y) u(x,y),v(x,y) 在 D D D 内可微。
(2) u 、 v u、v u、v满足 ∂ u ∂ x = ∂ v ∂ y , − ∂ u ∂ y = ∂ v ∂ x \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},-\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial v}{\partial x} \quad ∂x∂u=∂y∂v,−∂y∂u=∂x∂v (满足 C − R C-R C−R 方程）
下一章节：解析函数/全纯函数
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