关键路径 算法

关键路径

定义：关键路径是包含AOE图中所有顶点（事件）的最大路径长度，其长度代表所有活动完成所需最短时间

涉及概念：AOE图，ve,vl,ee,el

• AOE图：

  • activities on edges
  • 边表示活动（具体的工程内容），边长度（权值）代表活动所花费的时间
  • 顶点表示事件（事件不是工程内容，可以理解为一个状态，用以描述所有活动的完成情况）

• ve,vl,ee,el分别代表事件最早开始时间、事件最晚开始时间、活动最早开始时间、活动最晚开始时间

  注：AOE图之外还有AOV图，也即顶点表示活动，有向边仅代表活动先后顺序而没有权值，故AOV图不能用来求所有活动完成的最短时间（关键路径）

解释：至于为什么最大长度代表最短时间，主要是因为在AOE图中，当指向一个顶点的所有边所代表的活动都完成后这个事件才能发生。而所有边代表的活动的完成才是整个工程的完成

注意：AOE网是有向无环的，也即不能存在事件之间的相互依赖

计算方法：

• 按ve,vl,ee,el的次序计算

• ve,ee从起点到终点顺着边的方向进行计算，vl,el则从终点到起点逆着边的方向进行计算

• ve[x]=max(ve[x1]+e1,ve[x2]+e2,...,ve[xn]+en)其中xi是有边指向x的顶点，ei是从xi指向x的边

• vl[x]=min(vl[x1']-e1',vl[x2']-e2',...,vl[xn']-en')

• ee[x]=ve[x]

• el[x]=vl[xi']-ei'

  所有ee[x]=el[x]的边x都是关键路径上的边，它们代表关键活动（关键路径可以不止一条）