矩阵快速幂
矩阵快速幂
例题
我们线代课已经讲到矩阵了，自己也终于把之前卡了好久的矩阵快速幂的题过了ヾ(≧▽≦*)o
补充知识
矩阵与矩阵乘：矩阵A左乘矩阵B，记作AB；只有A的列数等于B的行数时才可相乘
P1962 斐波那契数列 - 洛谷
代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define endl '\n'
#define int long long
#define db(x) cout<<x<<" "<<endl;
#define _db(a,n) for(int i=1;i<=n;i++) cout<<a[i]<<" ";cout<<endl;
#define mem(a) memset(a,0, sizeof(a))
#define rep(i,l,r) for(int i=l;i<=r;i++)
#define per(i,r,l) for(int i=r;i>=l;i--)
const int M=1e9+7;
struct matrix{
int c[3][3];
matrix(){//使每次声明matrix的变量时初始化c数组
memset(c,0,sizeof(c));
}
}F,A;
matrix operator*(matrix &a,matrix &b){//重载的乘法运算符*
matrix t;
//矩阵乘
rep(i,1,2){
rep(j,1,2){
rep(k,1,2){
t.c[i][j]+=a.c[i][k]*b.c[k][j];
t.c[i][j]%=M;
}
}
}
return t;
}
void qpow(int n){
F.c[1][1]=F.c[1][2]=1;
A.c[1][1]=A.c[1][2]=A.c[2][1]=1;
//快速幂
while(n){
if(n&1) F=F*A;
A=A*A;
n>>=1;
}
}
void solve(){
int n;cin>>n;
if(n<=2){
cout<<1;
return;
}
qpow(n-2);//只运算n-2次
cout<<F.c[1][1];
}
signed main()
{
std::ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);
cout.tie(0);
//int t;cin>>t;while(t--)
solve();
return 0;
}
P1939 矩阵加速（数列） - 洛谷
分析&代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define endl '\n'
#define int long long
#define db(x) cout<<x<<" "<<endl;
#define _db(a,n) for(int i=1;i<=n;i++) cout<<a[i]<<" ";cout<<endl;
#define mem(a) memset(a,0, sizeof(a))
#define rep(i,l,r) for(int i=l;i<=r;i++)
#define per(i,r,l) for(int i=r;i>=l;i--)
const int M=1e9+7;
struct matrix{
int c[4][4];
matrix(){
memset(c,0,sizeof(c));
}
}F,A;
matrix operator*(matrix &a,matrix &b){
matrix t;
rep(i,1,3){
rep(j,1,3){
rep(k,1,3){
t.c[i][j]+=(a.c[i][k]%M*b.c[k][j]%M)%M;
t.c[i][j]%=M;
}
}
}
return t;
}
void qpow(int n){
mem(F.c),mem(A.c);
F.c[1][1]=F.c[1][2]=F.c[1][3]=1;
A.c[1][3]=A.c[2][1]=A.c[3][2]=A.c[3][3]=1;
while(n){
if(n&1) F=F*A;
A=A*A;
n>>=1;
}
}
void solve(){
int n;cin>>n;
if(n<=3){
cout<<1<<endl;//之前因为没换行一直wa(⊙﹏⊙)
return;
}
qpow(n-1);
cout<<F.c[1][1]<<endl;
}
signed main()
{
std::ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);
cout.tie(0);
int t;cin>>t;while(t--)
solve();
return 0;
}
方程【算法赛】 - 蓝桥云课
寒假遇到的，现在学了矩阵快速幂才过……这题一共交了22次
分析
注意
- 将答案加上模数再取模主要是用于中间结果可能溢出的情况
- 直接对答案取模则适用于最终结果可以直接表示为ans模M的情况
代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define endl '\n'
#define int long long
#define db(x) cout<<x<<" "<<endl;
#define _db(a,n) for(int i=1;i<=n;i++) cout<<a[i]<<" ";cout<<endl;
#define mem(a) memset(a,0, sizeof(a))
#define rep(i,l,r) for(int i=l;i<=r;i++)
#define per(i,r,l) for(int i=r;i>=l;i--)
const int M=1e9+7;
int k;
struct matrix{
int c[3][3];
matrix(){
memset(c,0,sizeof(c));
}
}F,A;
matrix operator*(matrix &a,matrix &b){
matrix t;
rep(i,1,2){
rep(j,1,2){
rep(k,1,2){
t.c[i][j]=(t.c[i][j]+a.c[i][k]*b.c[k][j]%M)%M;
}
}
}
return t;
}
void qpow(int n){
//mem(F.c),mem(A.c);
F.c[1][1]=2,F.c[1][2]=k;
A.c[1][1]=0,A.c[1][2]=-1,A.c[2][1]=1,A.c[2][2]=k;
while(n){
if(n&1) F=F*A;
A=A*A;
n>>=1;
}
}
void solve(){
int n;cin>>n>>k;
if(n==1){
cout<<k;
cout<<endl;
return;
}
qpow(n-1);
cout<<(F.c[1][2]+M)%M<<endl;//就因为这里没取模卡了快一小时
}
signed main()
{
std::ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);
cout.tie(0);
int t;cin>>t;while(t--)
solve();
return 0;
}
