[BZOJ1602&BZOJ1787&BZOJ2144]树上LCA的算法巩固练习

简述求LCA的倍增算法

  对于树上的所有节点,我们可以很轻松地通过dfs求出其直接的父亲节点以及其深度

  通过类似RMQ的原理我们可以处理出每个节点的第2^i个父亲

  //这个过程既可以在dfs之后双重循环建也可以像树剖模板里那样dfs里直接建

  //个人比较推荐后者,会少掉一些不必要的运算,但由于log算法的优越性使得它们实际差别不大

 

  如图u,v为题目中给的两个节点,我们要做的第一步是将u,v调整到同一深度

  做法很简单,只需要用2^i从大到小逼近答案

  调整到同一深度以后两个节点共同前进,做法和上面调整深度时一样

  细节:

    当u,v的深度刚开始就相同时一定要特判,因为运算到ln(0)会出错

 

 


 

BZOJ1602 简单的LCA模板题

BZOJ1787 题目大意是让我们求出树上三个点到同一点的边权加和最小,输出那个点和最小边权


  我们通过上面的例子可以发现,并不是三点的LCA就是边权和最小的

  因为图上的红边如果走到红色节点的时候会走两次,而走到绿色节点时只走一次,其他路径上的节点各一次

  发现其实和树的重心有点关系...然后就想到了暴力滚粗的ZJOI Day1T1

  其实这道题没那么麻烦...因为只有三个点,很容易想到最终的答案一定是其中两个点的LCA

  那么枚举三次就可以了,先将其中两个点做一次LCA,求出路径边权和,再将这个新求出的点和剩下的点做LCA,求路径和

  第一问的答案就是第一次LCA后求出的那个点

BZOJ2144

  几乎看不出来和LCA有什么关系的题...

  但是想出来了之后觉得这个思路简直太好了...

  对于一个状态我们用三元组表示(x,y,z)

  一种转移是从外面的点跳向中间,而显然由于题目中“只能跳过一颗棋子”的限制所以只有一种方法

  而从中间的点跳向两边就有两种方式

  按照以前的思路,这里就直接BFS敲起来了..

  我们考虑每一个三元组不停地向中间跳一定有一个最终状态

  而这个最终状态向外跳又能产生一系列形如二叉树的状态

  我们将向外跳定义为向儿子状态的连边,向上条定义为向父亲节点的连边

  两个状态的树上路径长度正好的题目中要求的内容

  而第一问只需判断根节点的状态是否一样就可以了

 

  但对于10^9的数据,想到这里显然还不够

  我们面临着两个问题,一个是depth怎么求(数组根本开不下状态也枚举不完),第二个是第2^i个父亲怎么求

  我们发现这两个问题是有联系的

  考虑一个状态(x,y,z),设t1=y-x,t2=z-y

  当t1>t2时,显然是右边的z往左跳,但是可以跳几步呢?我们解不等式即可得出:(t1-1)div t2步

  当t2>t1时同理

  每次更新t1,t2我们发现它实际上是一个辗转相除的过程,也就是没有几步就可以到达根节点

  也可以根据这个过程叠加出深度

  也可以根据这个过程,算出已知状态的第2^i个父亲状态

 

  这样一来,这个问题就差不多解决了

  最后一个细节,读进来的状态是无序的,要排序后再做/w\

 

posted @ 2015-04-15 11:41  mjy0724  阅读(249)  评论(0编辑  收藏  举报