金牌厨师（二分、差分）

题意

一个厨师可以做出辣度范围是\([1,n]\)的菜。现在有\(m\)个同学，每个同学可以接受的辣度范围是\([l_i, r_i]\)。厨师每天会选择一部分同学，做出让他们都满意的菜。满意程度定义为选出的同学的人数\(k\)和能让这部分同学都接受的菜的种类数\(x\)（这里理解为一种辣度对应一种菜）两者中的最小值，即\(\min(k,x)\)。求满意程度的最大值是多少。

数据范围

\(1 \leq n, m \leq 3 \times 10^5\)

思路

这种最小值最大的问题，首先想到的是二分答案。

首先有一个性质，就是选择的菜品辣度一定是一个连续的区间。因为可以看作是\(k\)个区间取交集，最终得到的一定是连续区间。

那么，假设当前二分到的答案是\(x\)，也就是判断是否存在一个长度不小于\(x\)的区间，能够满足至少\(x\)个人。

对于每个同学，要满足他的口味，\([l_i, r_i]\)区间内的所有值都可以，因此就可以利用差分进行区间加分。

但是在实际操作过程中，有一个trick，就是我们看作\([l_i, r_i]\)区间内任意一个长度为\(x\)的子区间都可以，那么利用差分对区间中的每一个子区间都\(+1\)，即可以对每个长度为\(x\)的子区间的右端点\(+1\)。求完前缀和后，判断是否有一个点的值\(\geq x\)即可。

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef pair<int, int> pii;

const int N = 300010;

int n, m;
pii a[N];
int sum[N];

bool check(int x)
{
    memset(sum, 0, sizeof sum);
    for(int i = 1; i <= m; i ++) {
        int l = a[i].first, r = a[i].second;
        int len = r - l + 1;
        if(len >= x) {
            sum[l + x - 1] ++;
            sum[r + 1] --;
        }
    }
    for(int i = 1; i <= m; i ++) {
        sum[i] += sum[i - 1];
        if(sum[i] >= x) {
            return true;
        }
    }
    return false;
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for(int i = 1; i <= m; i ++) {
        int x, y;
        scanf("%d%d", &x, &y);
        a[i] = {x, y};
    }
    int l = 1, r = n;
    while(l < r) {
        int mid = l + r + 1 >> 1;
        if(check(mid)) l = mid;
        else r = mid - 1;
    }
    printf("%d\n", l);
    return 0;
}