2A-1.霍夫变换

霍夫变换

霍夫变换
参数化模型
投票机制
- 霍夫变换的投票机制
霍夫空间 - 检测直线
检测圆
- 画圆投票
- 按照梯度投票
技巧及优缺点
- 技巧
- 优缺点
通用霍夫变换

参数化模型

霍夫变换是一种参数化模型的方法，所谓参数化模型，即带参数的模型，它能表示一类模型，其中每个模型由不同的参数值定义。比如直线、圆、甚至参数化模板。
举例说明，比如同一条直线上的点对应相同的模型，而不同直线的斜率和距离某个点的距离不同，那么在这里，斜率和距离为参数，他们对应不同的模型。

参数化模型的选择：

选择的模型能表达一组特征而不是单独一个特征
不能只根据一个点就能决定它属于哪个模型
验证一个参数化模型是不可行的（即使无限算力的电脑也不能验证所有符合这个模型的数据）

投票机制

投票机制是一种让特征自己选择与所有与之匹配的模型并进行投票的常用技术。步骤如下：

遍历特征，将特征转化为对模型参数值的投票
找到得到票数最多的几个模型

投票机制的可行性：

能够解决噪音问题：噪音也参与投票，但是他们会淹没在海量的真正的模型的投票中
即使有些特征没有被发现，模型也能将这些分散的片段连接起来

投票机制需要解决的问题：

给出一个点，能够判定它属于哪个直线
图像中有几条直线
哪些点属于哪些直线

霍夫变换的投票机制

每个边缘点投票给与之相关的点（投票给所有经过它的直线）
找到得到票数最多的几个模型

霍夫空间 - 检测直线

模型参数形成的空间

以直线为例，霍夫空间中的每个点对应一条直线，他们是对偶的

将每个点按照如上方法变换到霍夫空间，然后将霍夫空间划分为一些区间块，分别统计它们各自的投票数：

这种方法存在一个问题，就是当霍夫空间中的直线斜率无穷大时，直线将无法在霍夫空间中表示，其中一种解决方法是选择另外一种霍夫空间：\((\theta, d)\)，\(\theta\) 是原点到直线垂线与x轴的夹角，d 是垂线距离

应为 \(x*cos\theta\) - \(y*sin\theta = d\)
d为两个距离的差，图示不对

如果将图像的左上角限定为原点，则\(\theta\)的范围限定在\([0,\pi]\)

推导：

\[y = kx + b \\ x*cos\theta - y*sin\theta = -b*sin\theta \\ d = -b*sin\theta \]

算法

初始化霍夫空间 \(H[d, \theta] = 0\)
投票

for each edge point in (x,y)
  for theta = 0 to 180  // 量化
    d = x*cos(theta) - y*sin(theta)
    H[d, theta] += 1

找到霍夫空间中得票数最多的点 \((d, \theta)\) (霍夫峰，Hough Peaks)
检测到的线为：\(d = x*cos\theta - y*sin\theta\)

复杂度

空间复杂度(需要的内存大小)
- \(k^n\) 个bins (霍夫空间为n维，每个维度需要k个bins)
时间复杂度（投票次数和投票时间）
- 投票次数与边缘点的数量成线性关系
- 投票时间为常数

扩展

使用其他参数
- 使用梯度代替角度
  - 通过控制点的数量减少投票次数，即减少时间复杂度
  - \(\theta = gradient\ at\ (x,y)\)
  - \(d = x*cos\theta - y*sin\theta\)
越强的边缘点得到的投票越多
对不同的分辨率进行采样
- 先对低分辨率（大区间块）进行统计，防止漏掉模型
- 然后用高分辨率（小区间块）进行精确分析

检测圆

圆的方程：

\[(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \]

其中的参数有3个，则其霍夫空间是三维的

画圆投票

将圆中的每个点按照一定半径画圆：

每个圆在霍夫空间中对应一个圆，不同的半径的圆组合起来在霍夫空间中形成一个圆锥：

按照梯度投票

在梯度方向上划线，结合上述画圆投票的方法，梯度的线与上述的圆的交点，在霍夫空间中是原来圆锥表面上的一条线

算法

for every edge pixel (x,y):
  for each possible radius r:
    for each possible gradient direction theta:
      %%or use estimated gradient
      a = x - r*cos(theta)
      b = y + r*sin(theta)
      H[a,b,r] += 1
    end
  end
end