动态规划问题（斐波那契数列）

算法

1. 动态规划

   题目1：

   写一个函数，输入 n ，求斐波那契（Fibonacci）数列的第 n 项（即 F(N)）。斐波那契数列的定义如下：
   
   F(0) = 0, F(1)= 1
   F(N) = F(N - 1) + F(N - 2), 其中 N > 1.
   斐波那契数列由 0 和 1 开始，之后的斐波那契数就是由之前的两数相加而得出。
   
   答案需要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。
   
   示例 1：
   
   输入：n = 2
   
   

   思路：

   ​ 1. 首先想到的是递归，后面的函数需要调用前面的函数，并且有明显的停止条件。

   ​ 2. 然后是动态规划，要计算第三个数，只需要知道前面两个数即可，而最开始的两个很容易得出。再下一次计算中舍弃第一个，保留第二三个数。作为下一轮的第一二位。如此重复操作即可。（就是一个循环的问题）

   代码：

   public class Fib {
       //测试
       public static void main(String[] args) {
           System.out.println(fib(22));
           System.out.println(fib01(1000));
       }
   	//思路1
       public static int fib(int n) {
           if (n == 0 || n == 1) {
               return n;
           }
           return fib(n - 1) + fib(n - 2);
       }
   
   	//思路2
       public static int fib01(int n) {
           if (n < 2) {
               return n;
           }
           final int MOD = 1000000007;
           int a = 0;
           int b = 1;
           int c = 0;
           for (int i = 1; i < n; i++) {
               c = (a + b) % MOD;
               a = b;
               b = c;
           }
           return c;
       }
   }
   

   题目2：

   一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级台阶。求该青蛙跳上一个 n级的台阶总共有多少种跳法。
   
   答案需要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。
   
   示例 1：
   
   输入：n = 2
   输出：2
   示例 2：
   
   输入：n = 7
   输出：21
   示例 3：
   
   输入：n = 0
   输出：1
   
   

   思路：上一题的变形

   代码：

   public class NumWays {
       public static void main(String[] args) {
           System.out.println(numWays(7));
       }
   
       //斐波那契数列变形 f(1)=1 f(2)=2;
       //跳上最后一级台阶的为f(n)跳上最后一阶台阶只有两种方法,f(n-1)跳一步上台阶，f(n-2)跳两步上台阶。(如果觉得不好接受，画个三步台阶，要跳上第三步台阶的方法，一步跳上，两步跳上)
       public static int numWays(int n) {
           final int MOD = 1000000007;
           if (n == 0) {
               return 1;
           }
           if (n < 3) {
               return n;
           }
           int a = 1;
           int b = 2;
           int c = -1;
           for (int i = 2; i < n; i++) {
               c = (a + b) % MOD;
               a = b;
               b = c;
           }
           return c;
       }
   }