状态压缩DP

我们需要选择5个数，对于每一个数，不选就为0，选就为1
那么对于5个数，我们就可以用5位的二进制数来表示当前的状态
这种将集合作为整数记录状态的一类算法叫做状态压缩DP

在状态压缩中，二位用二进制存储，所以有一些常用的操作：
（1）空集φ：0
（2）只含有第i个元素的集合{i}：1<<i
（3）含有全部n个元素的集合{0,1,...,n-1}：(1<<n)-1
（4）判断第i个元素是否属于集合S：if(S>>i&1)
（5）向集合S中加入第i个元素S∪{i}：S|1<<i
（6）从集合S中移出第i个元素S{i}：S&~(1<<i)
（7）集合S和T的并集S∪T：S|T
（8）集合S和T的交集S∩T：S&T
此外，想要将集合S={0,1,...,n-1}表示的所有状态枚举出来，可以写成：

for(int s=0;s<(1<<n);s++){
	//对子集的处理
}

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例题

在这道题中,可以看到单词数目很少，容易想到枚举所有的单词连接情况，在判断最大长度，但情况太多（\(n!\)），会超时

所以用状态压缩DP
\(f[i][j]\)表示已经连接到了单词I，此时串的状态为S
状态用状态压缩，变成二进制
状态转移方程：
\(f[i][j+s]=max(f[i][j]+length[s])\)

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最大状态为1111111111111111，转换成二进制就为65535，再加上1
状态压缩数组就是：

int f[16][65536];

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常数数组：（只包含第i个单词）

const int only[16]={1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,2048,4096,8192,16384,32768};

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边界条件说明：状态中只有一个单词的情况：\(f[i][only[i]]=len[i]\);

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条件判断

if（only[i]&j){
//表示 “ 如果单词i在状态j中…”（注意：其实这里的i指的是第i+1个单词，下面一样，因为编号从0开始）
}

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总代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int only[16]={1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,2048,4096,8192,16384,32768};
int n;
char s[16][102];
int f[16][65536];
int len[16];
int work(int i,int j){
	int j1,temp;
	if(f[i][j]>0) return f[i][j];
	j1=j-only[i];//从状态j中删去i
	for(int k=0;k<n;k++)
		if(i!=k&&s[i][len[i]-1]==s[k][0]&&(only[k]&j)){//可以接龙
			temp=work(k,j1)+len[i];
			f[i][j]=max(f[i][j],temp);
		}
	return f[i][j];
}
int main(){
	cin>>n;
	for(int i=0;i<n;i++){
		scanf("%s",s[i]);
		len[i]=strlen(s[i]);
	}
	for(int i=0;i<n;i++)
		f[i][only[i]]=len[i];
	int ans,temp;
	ans=0;
	for(int i=0;i<n;i++)\\从第i个单词开始连
		for(int j=1;j<(1<<n);j++)
			if((only[i]&j)){
				temp=work(i,j);
				ans=max(ans,temp);
			}
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}

谢谢观看
PS.