6.16赛后总结

6.16模拟赛赛后总结

赛时历程

​ 上午七点十分拿到题面然后进行通读，略微思考了一下T1和T2的暴力，到T3时就读不懂题了，尝试多读一会儿理解一下，七点半了，打算直接开始暴力。

​ 先敲T1的最基础的 \(n^2\) 且\(a_i\le30\) 的分数，枚举区间然后对区间和lowbit一次判断即可，这个分数少的可怜，然后用\(set\)模拟一下大数进位，这个有\(n^2logn\) 可过且\(a_i\le10^9\)的部分分，这个还调了一会儿，两个部分总共有30分。大约八点十分，开始写T2的暴力，这个暴力就简单明了许多，\(n^2\)的模拟非常朴素，然后看这个分数的划分，纯 \(n^2\) 可以稳定拿到的分数是30分，加了剪枝运气好能够过\(30000\)的，总共有40分，对着暴力卡常，造数据，大概就九点半了。

​ 上一个厕所，回来思考T3的暴力，发现阶乘枚举排列再找最大完美匹配是一个复杂度很高的算法，偏偏这道题的时间限制是1s。

​ 终于是没有打T3的任何算法，怎么写都不能让我在1e8的時間内通过。T1和T2想再优化也感觉难，并不知道怎么优化。

​ 到了比赛结束。

赛后发现

1 得分30+40. 仍然有一道题是0分。

2 今天好好的按顺序来做事情，不过思路跟不上，搞完暴力之后只能陷入思考的漩涡，需要多思考提升思维。

技术总结

T1 是笛卡尔树+hash，首先是一个结论:若\(2^x=\sum\limits_{i=l}^{r}a_i\),那么\(x\le max\{a_l,a_{l+1},...,a_r\}+log_2len\) ,这个很容易证明，假设每个点都相等，那么最后的和是\(2^a*len\),不会超过\(2^{a+len}\).但这个东西似乎不容易想到，也不知道是什么样的经验让人往\(x\)的取值范围上去想，想到这个之后，我们发现对于一个区间我们经过\(log\)个枚举就可以判断出是否存在一个\(x\)能够满足区间的和为一个整次幂，具体来说，如果固定一个点为最大值，枚举\(2^x\)，然后让这个左端点的前缀和加上\(2^x\)能够找到一个位置p使得前缀和\(s[p]=s[l]+2^x\),那么这个区间就是满足要求的，为了快速找到这个位置，考虑用hash将前缀和映射到它的位置上，每次枚举答案的时候，在表中查找\(s[l]+2^x\)出现的位置，这个位置的前缀和的hash值如果和当前的\(s[l]+2^x\)的hash值相等，那么就代表\(l\)到这个位置的区间和是\(2^x\),累计一个\(ans\)。暴力的枚举依然有\(n^2\)的复杂度，所以考虑分治，我们每次确定的答案是基于一个区间里的最大值来"抬升"枚举的，所以说考虑跨过一个最大值的区间对答案的贡献，考虑建出笛卡尔树，搞一个大根堆样子的，从顶开始往下走就保证每次的根的值是最大的，然后考虑一个“启发式”的枚举，左右子树哪个小枚举哪个，假设左子树小，那么枚举左端点，然后枚举答案，hash查找位置在右子树的hash值，如果能够找到，ans++,这样做的复杂度就是\(O(nlog_2^2n)\)的。实现上就是建造笛卡尔树和hash的问题了。

T2 是一个分块多项式，暂且只会\(n^2\)暴力。

T3 是一个结论性的“暴力”。如果知道结论，可以很快的算出每个位置的贡献，场上可以尝试打表，虽然规律挺难发现的(况且我也没打表这个心思)。结论是，第\(i\)小的数被计算了$ (\dfrac{n}{2}!)^2\dbinom{i-1}{\frac{n}{2}-1}$次。证明比较难。