Leetcode 84 求直方图中矩形的最大面积

题目描述

Leetcode 84 给定 n 个正整数的列表，表示矩形的高度，表示直方图。每一个给出的矩形宽度是 1，找到在直方图里最大的矩形面积。

如图中给出的直方图，宽度是 1，给出的高度是 [2,1,5,6,2,3].

可以在直方图中找出最大的隐藏面积，答案是 10.

Input: [2,1,5,6,2,3]
Output: 10

题目分析

解法一：

最后矩形的最大面积，肯定是以某个矩形为最矮高度，向左向右可扩展的最大面积。

举例子来说，假设以 6 为当前直方图中的最矮高度，分别向左和向右扩展，但发现没有找到比自己还高的。那么以 6 为最矮高度的矩形面积是 6.

如果以 2 以当前直方图中的最矮高度，向左向右扩展后，发现左面高度为5, 6 的矩形和右面为 3 的矩形，都比自己高。那么以 2 为最矮高度的矩形面积是 2 + 2+ 2 + 2 = 8.

所以，依次以每个位置的矩形为最矮位置，然后依次拓展就能找到最大的矩形面积了。

class Solution:
    def largestRectangleArea_old(self, heights: List[int]) -> int:
        """
        O(n^2) -> 超时了，无法提交成功
        :param heights:
        :return:

         思路：最后形成最大的矩形面积，肯定是以给定的数组中某个位置连续矩形的最矮位置。
         从 index=0 的位置开始，假定它是这样的位置，然后向左向右开始扫描，找出其连续的矩形
         面积，然后依次比较这些找到的矩形面积。
        """
        max_area = 0
        index = 0
        list_length = len(heights)
        while index < list_length:
            area = heights[index]
            left_index = index - 1
            while left_index > -1:
                if heights[left_index] >= heights[index]:
                    area += heights[index]
                    left_index -= 1
                else:
                    break

            right_index = index + 1
            while right_index < list_length:
                if heights[right_index] >= heights[index]:
                    area += heights[index]
                    right_index += 1
                else:
                    break
            max_area = max_area if max_area > area else area
            index += 1

        return max_area

但可以发现，依次遍历每个矩形的位置，时间复杂度为 O(n^2).

解法二:

如解法 1 提到的，最大的矩形面积其实就是以某个矩形为最矮位置可扩展的最大面积。这里使用的数据结构是单调递增栈，用于保存局部矩形的峰值。

单调栈就是在栈里的元素，按照一定的规则进行排序。在本题里，栈里记录的是给定的矩形高度的位置。依次去循环 heights 里的元素，如果比栈顶的元素的大，那么就将元素入栈。如果比栈顶元素的小，就需要出栈，计算以当前栈顶元素形成的矩形面积，直到遇到和要入栈元素一样高的位置再停止。

需要注意的地方是：

• 给定的元素可能是一直递增的，所以需要给 heights 末尾添加一个元素 0，用于计算之前的面积。
• 需要考虑出栈后，站内元素为 0 的情况，这时需要计算，最低矩形高度可以形成的连续矩形面积的情况。例如 [2,1,2] 这种情况。

class Solution:
    def largestRectangleArea(self, heights: List[int]) -> int:
        # add 0 to query the last local peak area
        # if the last height is still the highest
        heights.append(0)
        # definite a stack to record the heights position
        # to get the local peak area
        heights_position = []
        max_area = 0
        #
        index = 0
        while index < len(heights):
            if len(heights_position) == 0 or heights[heights_position[-1]] <= heights[index]:
                heights_position.append(index)
                index += 1
            else:
                popped_position = heights_position.pop()
                # get the continuous area of the smallest rectangle
                # index represents the the number of elements has been processed
                if len(heights_position) == 0:
                    max_area = max(max_area, index * heights[popped_position])
                # Get maximum area of rectangle in monotonically increasing
                else:
                    # index need to reduce 1 because the we add a 0
                    #  to the end of heights array.
                    max_area = max(max_area,
                                   (index - 1 - heights_position[-1]) * heights[popped_position])
        return max_area

对于解法 2 来说，每个元素最多会入栈和出栈一次，所以时间复杂度为 O(2n) 也就是 O(n).