算法导论-中位数和顺序统计学习题解

9.1-1 证明：在最坏情况下，利用 n + \lceil n\rceil -2 次比较，即可找到n个元素中的第2小元素。

　　解：n 个元素两两比较，取较小值再两两比较，继续这个过程，可用 n - 1 次比较找到最小值。此时，第2小值一定出现在与最小值比较过的元素组成的集合中，这个集合的大小为\lceil n \rceil，还需要\lceil n\rceil 次比较即可找到第2小值。

 

　　9.3-6 对于一个含k个元素的集合来说，所谓k分位数就是能把已排序的结合分为k个大小相等的集合的k-1个顺序统计量。给出一个能列出某一集合的k分位数的O(nlgk)时间的算法。

解：1. 寻找第 \lfloor \frac{k}{2}\rfloor 个k分位数，时间为O(n)。这个分位数将集合分为大小大致相等的两部分S1, S2，令 k = \lfloor{\frac{k}{2}}\rfloor。

　   2. 分别在S1, S2中重复步骤1。

　　3. 递归上述步骤直到 k = 1。递归次数为 O(lgk)，每次递归执行总时间为O(n)，算法时间复杂度为O(nlgk)。

 

　9.3-7 给出一个O(n)时间的算法，在给定一个有n个不同数字的集合S以及一个正整数k<=n后，它能确定S中最接近其中位数的k个数。

　　解：1. 求S的中位数m，时间O(n)。

　　       2. 求 S - {m}中所有元素减去m的绝对值组成的集合B，时间O(n)。

　　       3. 求B中第k小的数n，时间O(n)。求得n后，n及n以前的k-1个数对应的S中的数即为S中最接近其中位数的k个数。

 

　　9.3-8 设X[1...n]和Y[1...n]为两个数组，每个都包含n个已排好序的数。给出一个求数组X和Y中所有的2n个元素的中位数的O(lgn)的算法。

　　解：1. 比较X[n/2] 与 Y[n/2]的大小，相等这个值就是中位数。否则，假设X[n/2] > Y[n/2]，则中位数为X[1..n/2]和Y[n/2..n]这n个元素的中位数。

　　　　2. 求X[1..n/2]和Y[n/2..n]这n个元素的中位数，方法如1。

　　　　可以看到上述方法每次排除一半的元素，因此时间复杂度为O(lgn)。

 

9-2 带权中位数

　　解 a) 略

　　    b) 略

　　    c) 1. 求X中位数m，令 W_{1} = \sum_{i=0}^{m-1}w{i}, W_{2} = \sum_{i=m}^{n}w_{i}。

　　        2. 如果 W₁ < 1/ 2 且 W₂ < 1/2。则带权中位数为m。否则，假设 W₁ < W₂ ，令 w_{m+1} = w_{m+1} + W_{1} ，取X[m+1..n]作为新的X。

　　        3. 递归过程1、2，直到找到中位数。 时间复杂度递归公式 T(n) = T(n/2) + O(n)，求解得：T(n) = O(n)。

　　   d) 只说思路：假设带权中位数为m， 任意一点p到各点距离为 f(p) = \sum_{i=1}^{n}w_{i}d(p, p_{i}) = \sum_{i=1}^{n}w_{i}|p - p_{i}|。

　　　    所要求证问题是： f(p) - f(m) >= 0， 即 f(p) - f(m) = \sum_{i=1}^{n}(|p - p_{i}| - |m - p_{i}|) \ge 0.

　　       分清况展开绝对项即可。

　　    e) 分别找到x, y方向的带权中位数。