[CF1842H]Tenzing and Random Real Numbers

2025/10/30.update:更新了一些细节上的bug，提交了正确代码。

题面

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题面机翻

有 \(n\) 个介于 0 和 1 之间（包括 0 和 1）的均匀随机实变量，记为 \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) 。

Tenzing有 \(m\) 个条件。每个条件的形式为 \(x_i+x_j\le 1\) 或 \(x_i+x_j\ge 1\) 。

Tenzing想要知道所有条件都满足的概率，模为 \(998~244~353\) 。

形式上，设为 \(M = 998~244~353\) 。可以证明答案可以用不可约分数 \(\frac{p}{q}\) 表示，其中 \(p\) 和 \(q\) 是整数，而 \(q \not \equiv 0 \pmod{M}\) 是不可约分数。输出等于 \(p \cdot q^{-1} \bmod M\) 的整数。换句话说，输出 \(0 \le x < M\) 且 \(x \cdot q \equiv p \pmod{M}\) 的整数 \(x\) 。

题目描述

There are $ n $ uniform random real variables between 0 and 1, inclusive, which are denoted as $ x_1, x_2, \ldots, x_n $ .

Tenzing has $ m $ conditions. Each condition has the form of $ x_i+x_j\le 1 $ or $ x_i+x_j\ge 1 $ .

Tenzing wants to know the probability that all the conditions are satisfied, modulo $ 998,244,353 $ .

Formally, let $ M = 998,244,353 $ . It can be shown that the answer can be expressed as an irreducible fraction $ \frac{p}{q} $ , where $ p $ and $ q $ are integers and $ q \not \equiv 0 \pmod{M} $ . Output the integer equal to $ p \cdot q^{-1} \bmod M $ . In other words, output the integer $ x $ that $ 0 \le x < M $ and $ x \cdot q \equiv p \pmod{M} $ .

动态规划

首先转化题意，令\(x_i+x_j\leq1\)变为\(y_i+y_j\leq 0\)，\(x\in[0,1]\rightarrow y\in[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]\)。而无论是\(x\)还是\(y\)，在计算概率时是等效的。

现在考虑式子\(y_i+y_j\leq 0\)，由于顺序不影响，不妨设\(|y_i|\leq|y_j|\)，则原式成立当且仅当\(y_j\leq 0\)。反过来说，若想令\(y_j\leq 0\)，那么\(y_i+y_j\leq 0\)必须成立，不能存在\(y_i+y_j\geq 0\)。（\(\geq\)的情况同理）

于是我们可以得到\(y_j\)为正/负的时候，不能存在的编号。（前提是\(y_j\)的绝对值为这些编号对应的\(y\)中最大）

注意这里只是假设\(|y_i|\leq|y_j|\)，实际上一条限制对\(i\)和\(j\)同时存在影响。

其实直接考虑\(x\)也是一样的，相当于判断其对于\(\frac{1}{2}\)的大小状况。

状态定义

\(f(S)\)表示只考虑集合\(S\)中的编号，且集合中数字按照绝对值大小加入的情况下，它们满足条件的情况数。
\(g(i,0/1)\)表示当\(y_i\)小于（或大于）\(0\)时，不能存在的编号的集合。（以\(y_i\)的绝对值最大为前提）

状态转移方程

枚举最后一个加入集合\(S\)的数的编号。

\[f(S) = \sum_{i\in S} \sum_{j=\{0,1\} \and g(i,j) \not\subseteq S}f(\complement_S\{i\}) \]

其中\(S\subseteq [1,n]\)。

边界条件

\(f(\empty) = 1\)

\(\{i\} \in g(j,t)\) 当且仅当存在一条限制形如\(\{t,i,j\}\)或\(\{t,j,i\}\)

答案

\[ans = \frac{f([1,n])}{n!2^n} \]

由于存在取模，统计答案时用逆元代替除法。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define lld long long

const int N = 25, M = 1<<20;
const lld p = 998244353;
int n, m, g[N][2];
lld f[M];

lld qpow(lld x, lld y){
	lld ret = 1;
	while(y){
		if(y&1) ret = ret*x%p;
		x = x*x%p; y >>= 1;
	} return ret;
}

int main(){
	scanf("%d%d", &n, &m);
	for(int i = 1; i <= m; i++){
		int t, xi, xj;
		scanf("%d%d%d", &t, &xi, &xj);
		g[xi][t] |= (1<<(xj-1));
		g[xj][t] |= (1<<(xi-1));
	} f[0] = 1;
	for(int s = 1; s < (1<<n); s++){
		for(int i = 1; i <= n; i++){
			if(s&(1<<(i-1)) == 0) continue ;
			for(int j = 0; j <= 1; j++){
				if(s&g[i][j]) continue ;
				(f[s] += f[s^(1<<(i-1))])%= p;
			}
		}
	} lld tms = 1, ans = f[(1<<n)-1];
	for(int i = n; i >= 1; i--) tms = tms*i%p;
	ans = ans*qpow(tms, p-2)%p;
	ans = ans*qpow(qpow(2, n), p-2)%p;
	printf("%lld\n", ans);
	return 0;
}