KM算法略解

匈牙利算法用于解决二分图最优匹配问题。
KM算法用于解决带权二分图最优匹配问题。

不仅要让有情人终成眷属，还得选最好嗑的cp

算法原理

其实我自己也不是很懂，大概是感性理解的（雾）。
推荐看这篇博客，讲的很详细，而且有题目推荐。

后面的<优化>部分，基本上来源于这篇博客。不知道算不算转载，毕竟我写的并没有它那么好。

算法流程

首先，摸出一张带权二分图。
（配图略）
把它变成一张完全图。
（原本不存在的边，权值设为\(-\inf\)即可）

二分图补完计划

假设已经二分好了，左边\(a\)个节点排成一列，右边\(b\)个节点排成一列。
接下来给节点赋初始点权。

对于左边的节点，其权值为连边的最大权值。
对于右边的节点，其权值为\(0\)。
（配图略）

开始进行匹配。匹配类似匈牙利算法，但采取一定的贪心策略（？）进行改良。
具体而言，只通过边权=两端点点权之和的边进行匹配。

当然，会有无法匹配的情况，例如（配图略）。
于是考虑修改目前被匹配过的点的点权，将左节点均\(-1\)，右节点均\(+1\)。

重复以上过程，直到找到匹配。

调整点权的过程挺浪费时间的……草履虫都觉得每次修改\(1\)必然会挂飞。

每次-1仿佛刮痧……
-1-1-1-1-1-1-1-1……

毕竟谁家时间复杂度还带个\(\sum w\)啊（雾）。

容易想到，只要使得每次调整点权都是切实有效的，就可以大大减少复杂度。

令\(d_v = \min(lx_u+ly_v-w_{u,v} | vis_u = true \and vis_u = false)\)
又令\(now = \min(d_v | vis_v = false)\)

其中\(lx\)表示左节点的点权，\(ly\)表示右节点的点权，\(vis\)表示是否被访问过。

总之就是，找到一个最小的修改量，使得必然有一个新的右节点被访问到。（也就是接触到了新的匹配方案）

求出\(now\)之后，将所有左节点\(-now\)。
维护\(d\)，每次操作后使得\(d_v = d_v-now\)，并且如果\(d_v\)在这次操作中变成了\(0\)，那么\(v\)就是被访问的新右节点，关于它，可能有两种情况：

1. 如果\(v\)没有被匹配。那么退出循环，更新match数组，然后进行下一个左节点的匹配。
2. \(v\)已经被匹配。则把\(v\)与\(match_v\)标记为已访问，继续更新\(d\)和\(now\)。

然后还要注意，用bfs代替dfs。否则，如果匹配的部分跑满了，复杂度还是\(O(n^4)\)。
（数据酱的恶意都满溢出来了……）
总复杂度\(O(n^3)\)，可喜可贺，可喜可贺。