一道面试题：求一个正整数的因子个数

如：整数 15，有1， 15， 3，5 共4个因子。要求算法的复杂度为O(sqrt(N)).

 首先想到的方法是：逐个枚举，从 1 到 N/2 + 1(当然也可以是 从 1 到 N),这样算法的复杂到至少是O(N)的，

而且，其中还要去重，比如 24 = 4*6 = 6*4，这样还要分配空间来存放找到的因子，并且每次添加的时候，还要

查找是否已经在列表中，采用二分查找也要logN,因此最终的算法复杂度也要达到O(NlogN)。不符合题目的要求。

其实，重复因子的出现是在sqrt(N)的附近，再加上题目给出的算法复杂度的提示，因此我们可以写出如下的算法：

	/**
	 * 求正整数 N的因子数
	 * @param N
	 * @return
	 */
	public int factors(int N){
		if(1 == N) return 1;
		int count = 2;// 1 与 N 必是
		final int sqrt_N = (int)Math.sqrt(N);
		int r;
		for(int i = 2; i <= sqrt_N; i++){
			if(0 == N % i){
				if(i == sqrt_N){
					r = N / i;
					if(r == i){//比如 4 = 2 * 2；那么2 只能算一个
						count++;
					}else{
						count += 2;
					}
				}else{
					count += 2;
				}
			}
		}
		
		return count;
	}
	
	/**
	 * 有没有漏掉呢？
	 * 
	 * 假设存在一个正整数 K,使得 K * M = N, 且  K 不在 1, sqrt(N)之间，且M 为正整数
	 * 那么 M必在(1, sqrt(N))之间，否则 K*M >sqrt(N)*sqrt(N) = N,与 K*M = N矛盾
	 * 即只要存在两个正整数K, M,使得 K * M = N,那么K， M中必有一个在[1, sqrt(N)]区间中
	 */

 注释部分，相当与算法正确性的证明。

当然，如果不调用系统的库函数，可能还需要自己实现求一个整数的平方根的算法，根据本题要求，不要求精度太高，只需要

到 0.1就够了。

 

扩展：如果N为负数呢？