einsum：爱因斯坦求和约定
在Tensorflow、Numpy和PyTorch中都提供了使用einsum的api，einsum是一种能够简洁表示点积、外积、转置、矩阵-向量乘法、矩阵-矩阵乘法等运算的领域特定语言。在Tensorflow等计算框架中使用einsum，操作矩阵运算时可以免于记忆和使用特定的函数，并且使得代码简洁，高效。
如对矩阵\(A\in \mathbb{R}^{I×K}\)和矩阵\(B\in \mathbb{R}^{K×J}\)做矩阵乘，然后对列求和，最终得到向量\(c\in \mathbb{R}^J\)，即：
使用爱因斯坦求和约定表示为：
在Tensorflow、Numpy和PyTorch中对应的einsum字符串为：
ik,kj->j
在上面的字符串中，隐式地省略了重复的下标\(k\)，表示在该维度矩阵乘；另外输出中未指明下标\(i\)，表示在该维度累加。
Numpy、PyTorch和Tensorflow中的einsum
einsum在Numpy中的实现为np.einsum，在PyTorch中的实现为torch.einsum，在Tensorflow中的实现为tf.einsum，均使用同样的函数签名einsum(equation,operands)，其中，equation传入爱因斯坦求和约定的字符串，而operands则是张量序列。在Numpy、Tensorflow中是变长参数列表，而在PyTorch中是列表。上述例子中，在Tensorflow中可写作：
tf.einsum('ik,kj->j',mat1,mat2)
其中，mat1、mat2为执行该运算的两个张量。注意：这里的(i,j,k)的命名是任意的，但在一个表达式中要一致。
PyTorch和Tensorflow像Numpy支持einsum的好处之一就是，einsum可以用于深度网络架构的任意计算图，并且可以反向传播。在Numpy和Tensorflow中的调用格式如下：
其中，\(\square\)是占位符，表示张量维度；arg1,arg3是矩阵，arg2是三阶张量，运算结果是矩阵。注意：einsum处理可变数量的输入。上面例子中，einsum制定了三个参数的操作，但同样可以操作一个参数、两个参数和三个参数及以上的操作。
典型的einsum表达式
前置知识
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内积
又称点积、点乘，对应位置数字相乘，结果是一个标量，有见向量内积和矩阵内积等。
向量\(\vec a\)和向量\(\vec b\)的内积：
\[\vec a=[a_1,a_2,...,a_n]\\ \vec b=[b_1,b_2,...,b_n]\\ \vec a\cdot \vec b^T=a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n \]内积几何意义：
\[\vec a \cdot \vec b^T=|\vec a||\vec b|\mathop{cos}\theta \] -
外积
又称叉乘、叉积、向量积，行向量矩阵乘列向量，结果是二阶张量。注意到：
张量的外积作为张量积的同义词。外积是一种特殊的克罗内克积。向量\(\vec a\)和向量\(\vec b\)的外积：
\[\begin{bmatrix} b_1 \\b_2 \\ b_3 \\ b_4 \end{bmatrix}\bigotimes[a_1,a_2,a_3]=\begin{bmatrix} a_1b_1 & a_2b_1 & a_3b_1 \\ a_1b_2 & a_2b_2 & a_3b_2 \\ a_1b_3 & a_2b_3 & a_3b_3 \\ a_1b_4 & a_2b_4 & a_3b_4 \\ \end{bmatrix} \]外积的几何意义：
\[\vec a=(x_1,y_1,z_1)\\ \vec b=(x_2,y_2,z_2)\\ \vec a\bigotimes\vec b=\begin{vmatrix} i & j & k\\ x_1 & y_1 & z_1\\ x_2 & y_2 & z_2 \end{vmatrix}=(y_1z_2-y_2z_1)\vec i-(x_1z_2-x_2z_1)\vec j+(x_1y_2-x_2y_1)\vec k \]其中，
\[\vec i=(1,0,0)\\ \vec j=(0,1,0)\\ \vec k=(0,0,1) \]
由于PyTorch可以实时输出运算结果，以PyTorch使用einsum表达式为例。
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矩阵转置
\[B_{ji}=A_{ij} \]a=torch.arange(6).reshape(2,3)>>>tensor([[0, 1, 2], [3, 4, 5]])torch.einsum('ij->ji',[a])>>>tensor([[0, 3], [1, 4], [2, 5]]) -
求和
\[b=\sum_{i}\sum_{j}A_{ij} \]a=torch.arange(6).reshape(2,3)>>>tensor([[0, 1, 2], [3, 4, 5]])torch.einsum('ij->',[a])>>>tensor(15) -
列求和(行维度不变，列维度消失)
\[b_j=\sum_iA_{ij} \]a=torch.arange(6).reshape(2,3)>>>tensor([[0, 1, 2], [3, 4, 5]])torch.einsum('ij->j',[a])>>>tensor([ 3., 5., 7.]) -
行求和(列维度不变，行维度消失)
\[b_i=\sum_jA_{ij} \]a=torch.arange(6).reshape(2,3)>>>tensor([[0, 1, 2], [3, 4, 5]])torch.einsum('ij->i', [a])>>>tensor([ 3., 12.]) -
矩阵-向量相乘
\[c_i=\sum_k A_{ik}b_k \]a=torch.arange(6).reshape(2,3)>>>tensor([[0, 1, 2], [3, 4, 5]])torch.einsum('ik,k->i',[a,b])>>>tensor([ 5., 14.]) -
矩阵-矩阵乘法
\[C_{ij}=\sum_{k}A_{ik}B_{kj} \]a=torch.arange(6).reshape(2,3) b=torch.arange(15).reshape(3,5)>>>tensor([[0, 1, 2], [3, 4, 5]]) >>>tensor([[ 0, 1, 2, 3, 4], [ 5, 6, 7, 8, 9], [10, 11, 12, 13, 14]])torch.einsum('ik,kj->ij',[a,b])>>>tensor([[ 25, 28, 31, 34, 37], [ 70, 82, 94, 106, 118]]) -
点积
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向量
\[c=\sum_i a_i b_i \]a=torch.arange(3) b=torch.arange(3,6)>>>tensor([0, 1, 2]) >>>tensor([3, 4, 5])torch.einsum('i,i->',[a,b])>>>tensor(14.) -
矩阵
\[c=\sum_i\sum_j A_{ij}B_{ij} \]a=torch.arange(6).reshape(2,3) b=torch.arange(6,12).reshape(2,3)>>>tensor([[0, 1, 2], [3, 4, 5]]) >>>tensor([[ 6, 7, 8], [ 9, 10, 11]])torch.einsum('ij,ij->',[a,b])>>>tensor(145.)
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外积
\[C_{ij}=a_i b_j \]a=torch.arange(3) b=torch.arange(3,7)>>>tensor([0, 1, 2]) >>>tensor([3, 4, 5, 6])torch.einsum('i,j->ij',[a,b])>>>tensor([[ 0., 0., 0., 0.], [ 3., 4., 5., 6.], [ 6., 8., 10., 12.]]) -
batch矩阵乘
\[C_{ijl}=\sum_{k}A_{ijk}B_{ikl} \]a=torch.randn(3,2,5) b=torch.randn(3,5,3)>>>tensor([[[-1.4131e+00, 3.8372e-02, 1.2436e+00, 5.4757e-01, 2.9478e-01], [ 1.3314e+00, 4.4003e-01, 2.3410e-01, -5.3948e-01, -9.9714e-01]], [[-4.6552e-01, 5.4318e-01, 2.1284e+00, 9.5029e-01, -8.2193e-01], [ 7.0617e-01, 9.8252e-01, -1.4406e+00, 1.0071e+00, 5.9477e-01]], [[-1.0482e+00, 4.7110e-02, 1.0014e+00, -6.0593e-01, -3.2076e-01], [ 6.6210e-01, 3.7603e-01, 1.0198e+00, 4.6591e-01, -7.0637e-04]]]) >>>tensor([[[-2.1797e-01, 3.1329e-04, 4.3139e-01], [-1.0621e+00, -6.0904e-01, -4.6225e-01], [ 8.5050e-01, -5.8867e-01, 4.8824e-01], [ 2.8561e-01, 2.6806e-01, 2.0534e+00], [-5.5719e-01, -3.3391e-01, 8.4069e-03]], [[ 5.2877e-01, 1.4361e+00, -6.4232e-01], [ 1.0813e+00, 8.5241e-01, -1.1759e+00], [ 4.9389e-01, -1.7523e-01, -9.5224e-01], [-1.3484e+00, -5.4685e-01, 8.5539e-01], [ 3.7036e-01, 3.4368e-01, -4.9617e-01]], [[-2.1564e+00, 3.0861e-01, 3.4261e-01], [-2.3679e+00, -2.5035e-01, 1.8104e-02], [ 1.1075e+00, 7.2465e-01, -2.0981e-01], [-6.5387e-01, -1.3914e-01, 1.5205e+00], [-1.6561e+00, -3.5294e-01, 1.9589e+00]]])torch.einsum('ijk,ikl->ijl',[a,b])>>>tensor([[[ 1.3170, -0.7075, 1.1067], [-0.1569, -0.2170, -0.6309]], [[-0.1935, -1.3806, -1.1458], [-0.4135, 1.7577, 0.3293]], [[ 4.1854, 0.5879, -2.1180], [-1.4922, 0.7846, 0.7267]]]) -
张量缩约
batch矩阵相乘是张量缩约的一个特例，比如有两个张量，一个n阶张量\(A\in \mathbb{R}^{I_1×l_2×...×I_n}\)，一个m阶张量\(B\in \mathbb{R}^{J_1×J_2×...×J_m}\)。取n=4，m=5，假定维度\(I_2=J_3\)且\(I_3=J_5\)，将这两个张量在这两个维度上(A张量的第2、3维度，B张量的第3、5维度)相乘，获得新张量\(C\in \mathbb{R}^{I_1×I_4×J_1×J_2×J_4}\)，如下所示：
\[C_{I_1×I_4×J_1×J_2×J_4}=\sum_{I_2==J_3}\sum_{I_3==J_5}A_{I_1×I_2×I_3×I_4}B_{J_1×J_2×J_3×J_4×J_5} \]a=torch.randn(2,3,5,7) b=torch.randn(11,13,3,17,5) torch.einsum('pqrs,tuqvr->pstuv', [a, b]).shape>>>torch.Size([2, 7, 11, 13, 17]) -
多张量计算
如前所述，einsum可用于超过两个张量的计算，以
双线性变换为例：\[D_ij=\sum_k\sum_lA_{ik}B_{jkl}C_{il} \]a=torch.randn(2,3) b=torch.randn(5,3,7) c=torch.randn(2,7) torch.einsum('ik,jkl,il->ij',[a,b,c]).shape>>>torch.Size([2,5])
在kimiyoung/transformer-xl的tf部分大量使用了einsum表达式。
