hdu 3037 Lucas定理

题目可以转换成 x1+x2+……+xn=m 有多少组解，m在题中可以取0-m。

x1+x2+...+xn = m的解的个数，利用插板法可以得到方案数为：
(m+1)*(m+2)...(m+n-1) = C(m+n-1,n-1) = C(m+n-1,m)

现在就需要求不大于m的，相当于对i = 0,1...,m对C(n+i-1,i)求和，根据公式C(n,k) = C(n-1,k)+C(n-1,k-1)得
C(n-1,0)+C(n,1)+...+C(n+m-1,m)
= C(n,0)+C(n,1)+C(n+1,2)+...+C(n+m-1,m)
= C(n+m,m)

现在就是要求C(n+m,m) % p,其中p是素数。
然后利用Lucas定理的模板就可以轻松的求得C(n+m,m) % p的值
下面简单介绍一下Lucas定理：
Lucas定理是用来求 C(n,m) mod p的值,p是素数（从n取m组合，模上p）。
描述为:
Lucas(n,m,p)=C(n%p,m%p)* Lucas(n/p,m/p,p)
Lucas(x,0,p)=1;

求一个组合数最后可化简为（a/b）%p

（a/b）%p可以转换成a*Inv（b，p） Inv（b，p）为b对p的逆元。

逆元 ：(b/a) (mod n) = (b * x) (mod n)。 x表示a的逆元。并且 a*x ≡ 1 (mod n ) 注意：只有当a与n互质的时候才存在逆元

Sample Input
2
1 2 5
2 1 5

Sample Output
3
3

 

# include <iostream>
# include <cstdio>
# include <cstring>
# include <algorithm>
# include <string>
# include <cmath>
# include <queue>
# define LL long long
using namespace std ;

LL  n, m, p;

LL Ext_gcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y){
   if(b==0) { x=1, y=0; return a; }
   LL ret= Ext_gcd(b,a%b,y,x);
   y-= a/b*x;
   return ret;
}
LL Inv(LL a,int m){   //求逆元
   LL d,x,y,t= (LL)m;
   d= Ext_gcd(a,t,x,y);
   if(d==1) return (x%t+t)%t;
   return -1;
}

LL Cm(LL n, LL m, LL p)  //求组合数
{
    LL a=1, b=1;
    if(m>n) return 0;
    while(m)
    {
        a=(a*n)%p;
        b=(b*m)%p;
        m--;
        n--;
    }
    return (LL)a*Inv(b,p)%p;  //（a/b）%p 等价于 a*（b，p）的逆元
}

int Lucas(LL n, LL m, LL p)  //把n分段递归求解相乘
{
    if(m==0) return 1;
    return (LL)Cm(n%p,m%p,p)*(LL)Lucas(n/p,m/p,p)%p;
}

int main()
{
    //freopen("in.txt","r",stdin) ;
    int T;
    cin >> T;
    while(T--)
    {
        cin>>n>>m>>p ;
        cout<<Lucas(n+m,m,p)<<endl ;
    }
    return 0;
}