伽罗华域（有限域上的加减乘除运算）||素数域/二元扩域

GF(2m)域

当m=8时，本原多项式为P(x) = x8 + x4 +x3 + x2 + 1 .

这个很重要，因为一切化解都来源与此式。

在伽罗华域中,加法等同于对应位异或,所以

现在把α定义为P(x) = 0的根，即
　　　　α8＋α4＋α3＋α2＋1 = 0
　　　　即可以得到 α8=α4＋α3＋α2＋1，因为在珈罗华域中加法为模2加法，实际上是异或操作，所有有此2个等式同时成立。

接着先给出下表付推导过程：

下面就按以下规则进行乘法运算

0=000 就是0
1=001 就是1
2=0010就是x+0=x （此处及下文的x，其实就是表中的primitive element α）
3=0011就是x+1
4=00100就是x^2
然后对于两个变量
u,v
可以先计算两个对应多项式的乘积（需要注意的是加法是模2的，或者说是异或运算），
比如
37=(x+1)(x^2+x+1)=x*x2+xx+x+x^2+x+1=x3+1 (模2运算中x+x=0 and x^2+x2=0)
所以37=9 （伽罗华域中乘法运算其实是域中元素对应的多项式的乘法运算，相加时为模2加法）
在乘积得出来的多项式次数大于7时，我们需要对多项式在GF(2)上关于h(x)（h(x)就是本原多项式P(x)）求余数，也就是
1295=(x^7+1)*(x2+1)=x^9+x7+x^2+1
将上面的函数加上xh(x) （h(x)就是本原多项式P(x)）可以消去x^9,（其实就是手工除法过程，只是现在每一次商总是0或1），所以
129*5=x^9+x7+x^2+1+x9+x^5+x4+x^3+x=x7+x^5+x4+x^3+x2+x+1
=0010111111=191