莫队

莫队是莫涛大佬提出的算法。

建议参阅：http://oi-wiki.com/misc/mo-algo/

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0x00 前置知识

1 分块（根号算法）

2 sort与运算符重载

0x01 算法思想

例题：给你一个数列 \(a_i\)， 对于每个\(l\)和\(r\) ， 输出\([l,r]\)中有多少种数 。

怎么做呢？不会

算法1：\(cnt_i\) 记录 \(i\) 出现的次数，遍历\(a_l\)到\(a_r\)，\(++cnt_{a_i}\) ，最后扫描一遍，用\(ans\)计算多少个\(cnt\)不等于\(0\)。

这种做法，对于单个区间还挺好，对于多个区间就凉了（\(O(n^2)\)）。

怎么优化呢？

我们可以考虑利用之前的\(ans\)。

比如下面的栗子：

比如现在知道\([l_1,r_1]\)的结果，要求\([l_2,r_2]\)的结果。

现将\(l\)往右移一位……哦少了一个\(1\)！！！

\(--cnt_{1}\)

再比如将\(r\)向右移……多了一个\(1\)。

\(++cnt_{1}\)

于是：

算法2：先得到一个区间的答案，再一步一步挪左右指针。

多好！

每次移动只有\(O(n)\)……欸那不还是\(O(n^2)\)？

但我就是觉得这算法很好，所以要优化。

所以移动指针的次数要减小。

什么好办法呢？

分块！

莫队

我们考虑讲区间分块，然后对于每个区间，以区间右端为关键字由小至大排序。

这样子对于每个块内，右端点会一直往右移。复杂度是 \(O(n)\)。

然后如果从一个块移到另一个块，也是右端点一路向左退，也是 \(O(n)\) 的。

所以复杂度是 \(O(n \sqrt n)\)。

这时候有的小朋友就要问了：

「呐，为什么不把它们都一起排序呢？✰」

问得好！

如果这样，来康康我们的左端点君。

它有可能会从不停地从左往右移动，再从右往左……这样复杂度退化成 \(O(n^2)\) 了。数据可以卡。

如果分块的话，可以对整个数列适当地打乱，不容易被卡。

没啦。

0x02 参考资料

https://www.cnblogs.com/WAMonster/p/10118934.html

http://oi-wiki.com/misc/mo-algo/