莫比乌斯反演入门到入土

积性函数

令 \(p_i\) 为 \(x\) 的一个质因子，\(k_i\) 为它的次数。

对于函数 \(f\)，如果它满足

\[f(x)=\prod f(p_i^{k_i}) \]

则称它为积性函数。

类似地，对于函数 \(f\)，如果它满足

\[f(x)=\prod f(p_i)^{k_i} \]

则称它为完全积性函数。

说人话，如果对于 任意两个互质且整除它的数 的函数值的乘积 等于这个数的函数值，那么就称这个函数为积性函数。如果没有 互质 这个条件，则称它为完全积性函数。

给出极其极其极其常用的积性函数，且一定要记住：

• \(\varepsilon(n)=[n=1]\)（也可记为\(\epsilon(n)=[n=1]\)）；

• \(\operatorname{id}(n) = n\) ；

• \(1(n)=1\)；

• \(\tau(n) = \sum\limits_{d|n} 1\)；

• \(\sigma(n)= \sum\limits_{d|n} d\)；

• \(\varphi(n) = \sum\limits_{d=1}^{n} [d \perp n]\) （欧拉函数）；

• \(\omega(n)\) 为 \(n\) 本质不同的质因子个数；

• \(\mu(n)= \begin{cases}1 & n=1 \\ 0 & \exists x>1 : x^2|n \\ (-1)^{\omega(n)} & \mathrm{otherwise} \end{cases}\) （莫比乌斯函数）。

背下来。

\(\texttt{Dirichlet}\) 卷积

定义两个数论函数之间运算 \(*\)，满足

\[f(n)*g(n) = \sum_{d|n} f(d) g\left( \dfrac{n}{d}\right) \]

我们称 \(*\) 为 \(\boldsymbol{\texttt{Dirichlet}}\) 卷积。

性质

1. 交换律；

\(\mathrm{Prf.}\)

\(\begin{aligned}f(n)*g(n) &= \sum_{d|n} f(d) g\left( \dfrac{n}{d}\right) \\ &= \sum_{d|n}f\left(\dfrac{n}{\dfrac{n}{d}}\right)g\left( \dfrac{n}{d}\right) \\ &= \sum_{\frac{n}{d}|n}f\left(\dfrac{n}{\dfrac{n}{d}}\right)g\left( \dfrac{n}{d}\right) \\ &= \sum_{d|n} f\left( \dfrac{n}{d}\right) g(d) \\ &= g(n) * f(n)\end{aligned}\)

2. 结合律；

不会证，自己想去。

3. 分配律；

同上。

4. 存在单位元 \(\varepsilon\)，即 \(\forall f , f*\varepsilon = f\)。

\(\mathrm{Prf.}\)

\(\begin{aligned}f(n)*\varepsilon(n) &= \sum_{d|n} f(d) \varepsilon\left( \dfrac{n}{d}\right) \\ &= \sum_{d|n} f(d) \left[ \dfrac{n}{d} = 1\right] \\ &= f(n)\end{aligned}\)

彳亍，进入下一步。

栗子

\[1*1=\tau \]

\[\mu * 1=\varepsilon \]

\[\mathrm{id}*1=\sigma \]

\[\varphi*1=\mathrm{id} \]

\[\mu * \mathrm{id} =\varphi \]

依次证明：

\[\begin{aligned}1(n)*1(n)&= \sum\limits_{d|n}1(d)*1\left(\dfrac nd\right) \\ &= \sum\limits_{d|n} 1 \\ &= \tau(n)\end{aligned} \]

第二个自己想。

\[\begin{aligned}\mathrm{id}(n)*1(n)&= \sum\limits_{d|n}\mathrm{id}(d)*1\left(\dfrac nd\right) \\ &= \sum\limits_{d|n} d \\ &= \sigma(n)\end{aligned} \]

不会。

不会。

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正片开始！

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莫比乌斯反演

\[f=g*1 \Leftrightarrow g=f*\mu \]

\(\mathrm{Prf.}\)

\[\begin{aligned}f=g*1 & \Leftrightarrow f*\mu=g*1*\mu \\ & \Leftrightarrow g*\varepsilon=f*\mu \\ & \Leftrightarrow g=f*\mu\end{aligned} \]

完结。