椭圆PF1✖️PF2的范围

题目

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设P\((x_0,y_0)\)是椭圆C：$x^2 \over b^2 $ \(+ {y^2 \over b^2}\)\(=1\) \((a>b>0)\)上一点,且\(\angle F_1PF_2\)\(=\theta.\)求\(PF_1\)*\(PF_2\)取值范围。

失败的思路

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读题读一半的屑准备用基本不等式，发现只能算个最大值\(a^2\)

做法一 焦半径公式

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\(PF_1\)*\(PF_2\) \(=(a+ex_0)(a-ex_0)=a^2-\)\({c^2 x^2_0}\over a^2\)

是个普普通通的二次式

注意到\(x_0\)\(\in\)\([0,a]\)

那么\(PF_1\)*\(PF_2\)\(\in\)\([b^2,a^2]\)

做法二 余弦定理

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设\(PF_1=m,PF_2=n.\)\(S_{\triangle PF_1F_2}=\)\(1\over2\)\(mnsin\theta\)

\[ \left\{ \begin{array}{c} m+n=2a &（1）\\ 4c^2=m^2+n^2-2mncos\theta &（2）\\ \end{array} \right. \]

由（1）得

\(4a^2=m^2+n^2+2mn\) (3)

与（2）联立得

\(2b^2=mn(1+cos\theta)\) 即\(mn=\)\(2b^2\over1+cos\theta\) （4）

显然\(cos\theta\) \(\in\) \([\) \({a^2-2c^2}\over{a^2}\) \(,1\) \(]\)

(\(\theta\)取最大值时，即点P为短轴端点时，\(cos\theta\)取最小值）

代入（4）得

\(mn\)\(\in\)\([b^2,a^2]\)

写在后面的吐槽

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数学公式不会写然后字时大时小，一篇排版超烂的文章写了半天……救救孩子吧