关于炒饭每日挑战-猜铁上海的一些研究
背景知识
「猜铁」规则说明
每天北京时间 0 点题目更新。
您有 6 次机会来尝试猜出一个地铁站。
在猜测后，您可以看到今日地铁站与所猜测地铁站的异同点和关联。
（具体地，会给出今日地铁站与所猜测地铁站的：1.所在区是否相同 2.是否位于同一条线路上 3.最少换乘次数 4.最短距离 5.投用时间先后关系，实际上 2 是包含于 3 的）
目标换乘和目标距离是独立的，分别指到隐藏站点的最少需要换乘多少次，到隐藏站点最少距离多少个站点。
提出问题
以下三个问题并非按照提出顺序排列，而是按照我在代码中实现顺序排列。
- 回答所给的信息是否过多了？具体地，若只回答最少换乘次数和最短距离，是否存在一种 ADP 的方案（可以根据上次猜测的信息决定下一次的猜测），使得两次猜测后获得的信息足以确定隐藏站点？
- 是否存在一种 ADP 的方案，使得两次猜测后获得的信息足以确定隐藏站点？
- 是否存在一种 non-ADP 的方案（必须先给出两次猜测的站再得到回答），使得两次猜测后获得的信息足以确定隐藏站点？
由于我地理不好，后两个问题最终也只考虑换乘次数、距离、投用时间，不考虑所在区。
前期准备工作
根据百度百科的信息，我整理了每一条线路对应站点的名称与投用时间（例如，对于人民广场站，一号线对应站点投用于 1995 年，二号线对应站点投用于 2000 年，八号线对应站点投用于 2007 年）。
特别地，十三号线各站点的投用时间众口难调，此处采用手动测试的炒饭每日挑战的数据：马当路站 2010，世博会博物馆站 2010，世博大道站 2016（其实很奇怪？）。
特别地，对于有支线的线路，本文只考虑百度百科中标注的所谓主线，且支线理应不存在市内换乘的情形，因而不构成影响。
叠甲：数据截止到 2024 年末，且只考虑一至十八号线。
以下采用 C++ 语言进行数据分析与处理。以上数据被我保存在 metro_table.in 中。
大体思路
我对所有站点采用了两种不同的编号方式：第一种为实际站点，用 map<string,int>存储，即名称-index，共 390 个（注意到四号线浦电路站已改名为向城路站，解决了历史遗留问题）；第二种为虚拟站点，每条线路的对应站各记录一次（例如，对于人民广场站，一号线、二号线、八号线的对应虚拟站点各记录一次），共 497 个。
第二种编号在我的实现中计算更加方便，而最终可调用的函数则基于第一种编号。
具体实践
核心在于计算最少换乘次数与最短距离。（Warning：如果你看了我的代码实现，会发现其中类型 \(1\) 代表距离，类型 \(2\) 代表换乘，与下文的叙述相反）
考虑对于虚拟站点集 \(V\)（note that \(|V|=497\)），建立两个无向图 \(G_1(V,E_1),G_2(V,E_2)\)，分别用于计算最少换乘次数与最短距离。
对于同一条线路上的相邻虚拟站点 \(p,q\)，连边 \(e_1,e_2 = p \sim q\)，边权分别为 \(0,1\)；对于实际为同一站的虚拟站点 \(p,q\)，连边 \(e_1,e_2 = p \sim q\)，边权分别为 \(1,0\)。
对于不满足上述两种情况的站点对 \(p,q\)，理应不存在连边，而实现中边权记为一个较大的数。
此时对 \(G_1,G_2\) 使用 \(\text{Floyd-Warshall}\) 算法即可求出 \(\forall 1 \le p,q \le 497\)，\(p,q\) 在 \(G_1,G_2\) 中分别的最短路长度 \(dst_{1}(p,q),dst_{2}(p,q)\)。
设计三种函数（传入值为两个整数，为第一种编号方式下的站点）：\(\text{calc}_1(i,j)\) 返回 \(i,j\) 之间的最少换乘次数（特别地，需要枚举 \(i,j\) 分别对应的虚拟站点 \(p,q\)，并求出 \(dst_{1}(p,q)\) 的最小值）；\(\text{calc}_2(i,j)\) 返回 \(i,j\) 之间的最短距离；\(\text{calc}_3(i,j)\) 返回 \(i,j\) 投用年份的比较，其中返回 \(0,1,2\) 分别代表 \(i\) 同年于、早于、晚于 \(j\)。
解决问题（欢迎查错！）
对于第一个问题，以下循环、运算由外向内：
- 枚举第一次猜测的站 \(i\)；
- 枚举 \((t,d) \in \mathbb{N}_{\le 3} \times \mathbb{N}_{\le 100}\)，分别代表从 \(i\) 出发最少换乘 \(t\) 次、最短距离为 \(d\)（\(\text{t}\color{red}\text{yf}\)：注意到从人民广场站出发可不多于一次换乘到达任意站）；
- 枚举以求出满足上述限制的站点编号（即 \(\text{calc}_1(i,\cdot)=t\)，\(\text{calc}_2(i,\cdot)=d\)），记录在数组 \(v\) 中；
- 枚举第二次猜测的站 \(j\)；
- 遍历数组 \(v\)，若存在 \(k_1 \neq k_2 \in V\) 使 \((\text{calc}_1(j,k_1),\text{calc}_2(j,k_1))=(\text{calc}_1(j,k_2),\text{calc}_2(j,k_2))\)，则第一次猜测 \(i\)，第二次猜测 \(j\) 不是合法的策略，由于它们不能分辨 \(k_1,k_2\)。
- 遍历结束后，若不存在这样的 \(k_1,k_2\)，则在第一次猜测 \(i\) 且得到的回答是 \((t,d)\) 的情况下，第二次猜测 \(j\) 是一个合理的选择。
遗憾的是，对于任意的 \(i\)，都存在一组 \((t,d)\) 使得不存在能分辨出所有情形的 \(j\)。
因此我给出的答案是：不存在这样的方案。
对于第二个问题，以下循环、运算由外向内：
- 枚举第一次猜测的站 \(i\)；
- 枚举 \((t,d,op) \in \mathbb{N}_{\le 3} \times \mathbb{N}_{\le 100} \times \mathbb{N}_{\le 2}\)，分别代表从 \(i\) 出发最少换乘 \(t\) 次、最短距离为 \(d\)、投用年份比较结果为 \(op\)；
- 枚举以求出满足上述限制的站点编号（即 \(\text{calc}_1(i,\cdot)=t\)，\(\text{calc}_2(i,\cdot)=d\)，\(\text{calc}_3(i,\cdot)=op\)），记录在数组 \(v\) 中；
- 枚举第二次猜测的站 \(j\)；
- 遍历数组 \(v\)，若存在 \(k_1 \neq k_2 \in V\) 使 \((\text{calc}_1(j,k_1),\text{calc}_2(j,k_1),\text{calc}_3(j,k_1))=(\text{calc}_1(j,k_2),\text{calc}_2(j,k_2),\text{calc}_3(j,k_2))\)，则第一次猜测 \(i\)，第二次猜测 \(j\) 不是合法的策略，由于它们不能分辨 \(k_1,k_2\)。
- 遍历结束后，若不存在这样的 \(k_1,k_2\)，则在第一次猜测 \(i\) 且得到的回答是 \((t,d,op)\) 的情况下，第二次猜测 \(j\) 是一个合理的选择。
有趣的是，程序给出的可以作为第一次猜测的 \(i\) 不少。不过 given that 上一个问题中往往是有两三个站难以分辨，这个结果是可以接受的。
因此我给出的结论是：这样的方案应当有非常多。
对于第三个问题，以下循环、运算由外向内：
- 枚举第一次猜测的站 \(i\)，第二次猜测的站 \(j\)；
- 枚举 \((t,d,op) \in \mathbb{N}_{\le 3} \times \mathbb{N}_{\le 100} \times \mathbb{N}_{\le 2}\)，分别代表从 \(i\) 出发最少换乘 \(t\) 次、最短距离为 \(d\)、投用年份比较结果为 \(op\)；
- 枚举以求出满足上述限制的站点编号（即 \(\text{calc}_1(i,\cdot)=t\)，\(\text{calc}_2(i,\cdot)=d\)，\(\text{calc}_3(i,\cdot)=op\)），记录在数组 \(v\) 中；
- 遍历数组 \(v\)，若存在 \(k_1 \neq k_2 \in V\) 使 \((\text{calc}_1(j,k_1),\text{calc}_2(j,k_1),\text{calc}_3(j,k_1))=(\text{calc}_1(j,k_2),\text{calc}_2(j,k_2),\text{calc}_3(j,k_2))\)，则第一次猜测 \(i\)，第二次猜测 \(j\) 不是合法的策略，由于它们不能分辨 \(k_1,k_2\)。
- 所有 \((t,d,op)\) 枚举结束后，若均不存在这样的 \(k_1,k_2\)，则在第一次猜测 \(i\)，第二次猜测 \(j\) 是一个合理的选择。
遗憾的是，对于任意的 \(i,j\)，都存在一组 \((t,d,op)\) 使得存在至少两个站不能被分辨。
因此我给出的答案是：不存在这样的方案。
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