Ynoi做题笔记

搬运自洛谷博客，原发表时间：2022-07-20

大致按照我感觉的难度排序。做了十四五道的样子，可以慢慢胡了。

评分标准：

技术力+思维力+代码力+卡常力

水平不够，评分暂时撤掉。

P3934 [Ynoi2016] 炸脖龙 I

题意：区间加，区间幂塔。

先考虑如何维护区间加+单点查询。很显然地，使用树状数组维护差分数组，前缀和即为该点的值。时间复杂度为 \(O(\log n)\)，常数较小。

使用扩展欧拉定理处理幂塔。设模数为 \(p\)，则 \(\varphi(p),\varphi(\varphi(p)),\varphi(\varphi(\varphi(p)))...\) 模数在 \(\log p\) 次后减小到 \(1\)，因此递归求解幂塔，时间复杂度为 \(O(\log p)\)。由于递归时需要进行树状数组的单点查询，因此总时间复杂度为 \(O(\log p \log n)\)。

由于需要计算 \(\varphi(p)\)，线性筛预处理 \(\varphi\) 数组即可。预处理复杂度为 \(O(p)\)。

总时间复杂度为 \(O(n+p+q \log p \log n)\)。

技术力比较高一些，感觉实际难度并不大。

P5309 [Ynoi2011] 初始化

题意：将所有编号形如 \(y+kx\) 的数加上 \(z\)，区间查询。

根号分治，设临界值为 \(L\)。

对于 \(x \geq L\) 的情况，暴力修改即可。

而若 \(x < L\) ，则考虑分块，计算不完整块的前后缀和与整块的 \(sum\) 相加即可。

取 \(L=O(\sqrt{n})\)，两种情况时间复杂度均为 \(O(\sqrt{n})\)。

总时间复杂度为 \(O(m\sqrt{n})\)。

个人认为略微卡常，临界值 \(L\) 取 \(\dfrac{3}{5}\sqrt{n}\) 时较优。

P5524 [Ynoi2012] NOIP2015 充满了希望

题意：操作：交换两点点权，区间赋值，单点查；查询：一段操作区间得到的结果之和。

维护每个位置最后一次修改的时间戳，单点查询记录当前的值，使用线段树维护；查询按右端点排序，单点查时在时间戳上加上其结果，答案即为区间和，使用树状数组维护。

时间复杂度 \(O(m \log n+q \log m)\)。

P8511 [Ynoi Easy Round 2021] TEST_68

题意：一棵树，对于每个节点求其子树以外的任何两节点的最大异或和。

首先考虑整棵树，求出其最大异或和 \(bst\)，及得到该数的两点 \(x,y\)。

显然非 \(x\) 或 \(y\) 的祖先的所有节点的答案即为 \(bst\)。

考虑 \(x\) 或 \(y\) 的祖先：自顶向下，每次就增加了一定的点，分别对两条路径求最大异或和。

总时间复杂度 \(O(n \log a)\)，\(a\) 为值域。

P5527 [Ynoi2012] NOIP2016 人生巅峰

题意：区间修改为原数的三次方，区间查询是否存在某两个子序列的和相等。

注意到可能的子序列的数量为 \(2^{r-l+1}-1\) 个，而可能的和至多 \(mod \times (r-l+1)\) 种。由抽屉原理，\(r-l+1 > 13\) 时，答案必为 Yuno。

\(r-l+1 \le 13\) 时直接枚举即可，每个位置的值可以通过预处理快速得到，使用树状数组维护修改次数即可。

时间复杂度 \(O(m \log n+m \times 2^{13} \times 13)\)。可以优化，但足以通过。

P4689 [Ynoi2016] 这是我自己的发明

题意：一棵树，支持换根，求树上两点的子树内相同数的个数。

• 前置问题：link

有 \(\text{get}(l,r,x)=\text{get}(1,r,x)-\text{get}(1,l-1,x)\)。

设 \(\text{g}(i,x)=\text{get}(1,i,x)\)。

则问询可转化为 \(\sum _{i=1} ^\infty (\text{g}(r_1,x) \text{g}(r_2,x)-\text{g}(r_1,x)\text{g}(l_2-1,x)-\text{g}(l_1-1,x)\text{g}(r_2,x)+\text{g}(l_1-1,x)\text{g}(l_2-1,x))\)。

拆成如上4个操作后，莫队计算即可，时间复杂度 \(O(n \sqrt n)\)。

• 回到原题

不考虑换根操作，将节点投射到 dfs 序上，则子树为一段连续区间，即与P5268类似。

考虑静态处理换根：若当前根在 \(x\) 原子树内，设 \(t\) 为 \(x\) 的原儿子中为当前根原祖先的那个（\(t\) 可与当前根重合），则 \(x\) 的当前子树为整棵树除去 \(t\) 的原子树的部分。

（此处拆为2个区间，再与 \(y\) 的区间分别产生莫队操作）

理性看待此题卡常：莫队操作数最大可达到 \(16 \times 5 \cdot 10^5=8 \times 10^6\)。

取块长 \(L=\dfrac{n}{\sqrt{m}}\)，时间复杂度 \(O(n \sqrt m)\)。（写法较为重要）

P5607 [Ynoi2013] 无力回天 NOI2017

题意：区间异或上 \(v\)，区间与 \(v\) 最大异或

区间操作，与炸脖龙一样的思路想到差分，转化为单点修改。维护树状数组的时间复杂度为 \(O(m \log n)\)。

设差分数组 \(b_i=a_i \oplus a_{i-1}\)，则 \(a_i=b_1 \oplus b_2 \oplus ... \oplus b_i\)。

有一个性质（这一步非常妙，查看了题解才想出来）：\(\left\{ a_l,a_{l+1},...,a_r \right\}\) 的线性基 \(=\) \(\left\{ a_l,b_{l+1},...,b_r \right\}\) 的线性基。

感性证明：因为 \(\left\{ a_l,a_{l+1},...,a_r \right\}\) 中的数都能用 \(\left\{ a_l,b_{l+1},...,b_r \right\}\) 的某种异或表示出来，得证。

于是就不难想到使用线段树维护 \(b\) 数组的线性基，区间查询时求 \(a_l \cup b_{[l+1,r]}\) 即可。

总时间复杂度 \(O((n+m) \log n \log ^2 V)\)，空间复杂度 \(O(n \log V)\)（\(V\) 为值域）。

好像不怎么卡常。难点在于将原数组查询转换为差分数组查询的性质。

P5610 [Ynoi2013] 大学

题意：区间将 \(x\) 的倍数除以 \(x\)，区间查询

对于一个数 \(a\)，至多对其操作 \(d(a)\) 次。考虑从这个性质入手，用树状数组维护，时间复杂度为 \(O(n \, d(a) \log n)\)。

接下来考虑如何维护 \(x\) 的倍数集合。使用并查集快速查找下一个 \(x\) 倍数的位置。时间复杂度为 \(O(n \, d(a) \, \alpha(n))\)。

总时间复杂度为 \(O(n \, d(a) \log n+n \, d(a) \, \alpha(n))\)。

个人认为较为卡常，也许是这个方法常数较大。（upd：似乎不手写内存也能过）

P5356 [Ynoi2017] 由乃打扑克

题意：区间加，区间第 \(k\) 小。

分块，块内排序。（排序后的数组最好附带一个原数组的编号）

（以下 \(L\) 表示块长）

• 区间加

整块打 \(\text{tag}\)，散块中挑出区间内的数（有序），修改后和剩下的数归并排序得到整块的有序数组。

时间复杂度为 \(O(L+\dfrac{n}{L})\)。

• 区间第 \(k\) 小

散块通过归并排序为一组，一整块单独为一组。值域中二分答案，在每组中求出大于其的个数，判断加起来后是否达到 \(k\) 即可。

时间复杂度 \(O(\Delta\dfrac{n}{L} \log L)\)，\(\Delta\) 表示二分次数。

理论上取 \(L=O(\sqrt{n} \log n)\) 较优，时间复杂度约为 \(O(n \sqrt{n}\log n)\)。

卡常技巧：根据块内最值求出二分上下界，能带来较大常数优化。

被神 \(\color{black}\text{l}\color{red}\text{gvc}\) 多一个 \(\log\) 的快速排序干爆了。

P5047 [Ynoi2019 模拟赛] Yuno loves sqrt technology II

题意：区间逆序对数。

莫二离的本质：\(O(n \sqrt{m} \Delta) \rightarrow O(n \sqrt{m}+n \Delta)\)，\(\Delta\) 为单次挪动指针的复杂度。

适用范围：\(\Delta > O(1)\)，一个数的对区间的贡献与区间中的数有关，贡献可差分。

设 \(f(x,l,r)\) 为 \(a_x\) 对区间 \([l,r]\) 的贡献，\(F(x,l)=f(x,1,l)\)。（区间转化为前缀差分）

在右指针移动到 \(x\) 时，会产生的答案变动为 \(f(x,l,x-1)=F(x,x-1)-F(x,l-1)\)；

在左指针移动到 \(x\) 时，会产生的答案变动为 \(f(x,x+1,r)=F(x,r)-F(x,x)\)。

\(F(x,x-1),F(x,x)\) 可预处理；由于莫队指针移动的连续性，可以将连续的 \(-F(x,l-1)\) 和 \(F(x,r)\) 记录在区间中，二次计算。（也就是二次离线）

而指针的移动对后续询问都有贡献，因此求前缀和后才是真正的答案。

由于二次计算需要 \(O(\sqrt{n})\) 插入，\(O(1)\) 查询，离散化后使用值域分块即可。

时间复杂度 \(O(n \sqrt{n}+n \sqrt{m})\)。

略微卡常，调一下块长就能过。

P5072 [Ynoi2015] 盼君勿忘

题意：区间中所有子序列分别去重后的和取模。

~~吐槽：真的有黑吗？？？不过一个下位_{中位紫的莫队+光速幂科技。}~

静态查询想到莫队。对于一个数 \(x\)，它在区间 \([l,r]\) 中出现了 \(y\) 次，则其贡献为 \((2^{r-l+1}-2^{r-l+1-y}) \times x\)。

对于出现次数建立链表，并维护所有出现次数相同的数之和。（unordered_set亦可代替链表，稍慢）

考虑省去计算2的幂的 \(\log\)，使用光速幂即可。

总时间复杂度 \(O(n\sqrt{n})\)。（似乎有一个点较为卡常？删去一个不必要取模后加速0.4s有余。）

P5355 [Ynoi2017] 由乃的玉米田

弱化版：link

题意：区间查询是否存在两个数加，减，乘或除为 \(x\)。

前三种操作使用莫队+两个 \(\text{bitset}\) 维护，下称 \(b_1,b_2\)。若一个数 \(x\) 出现在区间中，则 \(b_1[x]=1,b_2[R-x]=1\)。（此题中值域 \(R=10^5\)）

• 加：存在 \(p,q\)，使得 \(p+q=x\)，变形得 \(p+R-x=R-q\)，即 \(b_1[p+R-x] \ \text{and}\ b_2[q]=1\)。

• 减：存在 \(p,q\)，使得 \(p-q=x\)，变形得 \(p=q+x\)，即 \(b_1[p] \ \text{and}\ b_1[q+x]=1\)。

• 乘：暴力枚举每一对 \(x\) 的约数并查询其是否都存在。

前三种操作时间复杂度为 \(O(\dfrac{n^2}{w})\)。

接下来考虑除法。

• 对于 \(x \geq \sqrt{R}\)：暴力枚举 \(1\) 到 \(\frac{R}{x}\) 的所有数，查询其是否存在即可。

• 对于 \(x< \sqrt{R}\)：单独处理，对于每一个 \(x\) 进行枚举，并令 \(i\) 从 \(1\) 扫到 \(n\)：\(L[i]\) 表示最大的 \(l\) 使得 \(l\) 到 \(p\) 中存在一对商为 \(x\) 的数。对于区间问询 \(l,r\)，若 \(l \leq L[r]\)，则存在。

感觉除法的难度比前三种加起来都高。

除法时间复杂度为 \(O(n\sqrt{R})\)。

总时间复杂度 \(O(\dfrac{n^2}{w}+n\sqrt{R})\)。

P7446 [Ynoi2007] rfplca

题意：一棵有根树，区间的父节点编号减去 \(x\)，查询两个点的lca。

现场听lxl讲了这题！

• 前置问题：link

考虑分块维护（1/1），\(stp[i]\) 为从 \(i\) 开始跳出块的步数，\(pos[i]\) 为从 \(i\) 跳出块后到了的位置。

修改：整块暴力重构。

• 回到原题

一眼弹飞绵羊，可以说是一个强化版。

一般来说DS题有两种：修改很复杂、问询很简单；修改很简单、问询很复杂，此题属于前者——lxl

修改看起来很离谱，整棵树的顺序都被打乱了，而问询只需要求lca。因此考虑不维护树的结构。

考虑分块维护（2/1），\(pos[i]\) 为从 \(i\) 向上跳出块后到了的位置。

• 查询

lca的过程很像重链剖分。

对于 \(u,v\) 两点:

若 \(pos[u]>pos[v]\)，令 \(u \leftarrow pos[u]\)；

若 \(pos[u]<pos[v]\)，令 \(v \leftarrow pos[v]\)；

若 \(pos[u]=pos[v]\)，\(u>v\) 则令 \(u \leftarrow pos[u]\)，反之则令 \(v \leftarrow pos[v]\)。

• 修改

散块暴力重构；

对于整块，由于每次修改后 \(fa\) 递减，因此修改次数 \(\ge \sqrt{n}\) 时必有 \(fa[i]=pos[i]\)。

时间复杂度 \(O(m\sqrt{n})\)。