错排问题

问题:
十本不同的书放在书架上。现重新摆放,使每本书都不在原来放的位置。有几种摆法?
这个问题推广一下,就是错排问题,是组合数学中的问题之一。

考虑一个有n个元素的排列,若一个排列中所有的元素都不在自己原来的位置上,那么这样的排列就称为原排列的一个错排。 n个元素的错排数记为D(n)。 研究一个排列错排个数的问题,叫做错排问题或称为更列问题。
错排问题最早被尼古拉·伯努利和欧拉研究,因此历史上也称为伯努利
-欧拉的装错信封的问题。这个问题有许多具体的版本,如在写信时将n封信装到n个不同的信封里,有多少种全部装错信封的情况?又比如四人各写一张贺年卡互相赠送,有多少种赠送方法?自己写的贺年卡不能送给自己,所以也是典型的错排问题。

 

   其实这道题看完后想到了排列~但是仔细一算超级麻烦,后来查了知道有一个公式!

   当n个编号元素放在n个编号位置,元素编号与位置编号各不对应的方法数用D(n)表示,那么D(n-1)就表示n-1个编号元素放在n-1个编号位置,各不对应的方法数,其它类推.
   
   第一步,把第n个元素放在一个位置,比如位置k,一共有n-1种方法;
   
   第二步,放编号为k的元素,这时有两种情况:
            ⑴把它放到位置n,那么,对于剩下的n-1个元素,由于第k个元素放到了位置n,剩下n-2个元素就有D(n-2)种方法;
            ⑵第k个元素不把它放到位置n,这时,对于这n-1个元素,有D(n-1)种方法;

    D(n) = (n-1)*(D(n-1)*D(n-2))

    特殊地,D(1) = 0, D(2) = 1.

    知道了了公式就很容易了,但丝毫没有成就感。

 

 

posted @ 2016-02-19 20:20  马小宝  阅读(294)  评论(1编辑  收藏