CF1523E Crypto Lights 题解

CF1523E Crypto Lights 题解

传送门。

题目大意：有 \(n\) 个台灯，初始时都是暗的，每次随机点亮一个暗台灯，若点亮后存在一个长度为 \(k\) 的连续段有大于一个台灯被点亮则立刻停止，求期望点亮多少台灯。

(就是直接把原题翻译搬过来了)

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很明显的期望dp，状态定义也很明显，设 \(f_i\) 表示第 \(i\) 次停止的概率，很显然最终答案就是 \(\sum_{i=1}^{n}f_i\times i\)。

但是这个 \(f_i\) 非常难求，所以考虑转化一下：

设 \(s\) 是 \(f\) 的后缀和数组，即 \(s_i=\sum_{j=i}^{n}f_i\)，那么最后要求的是 \(\sum_{i=1}^{n}s_i\)。

由 \(s\) 的定义可得：\(s_i\) 也就相当于第 \(i-1\) 次没有停止的概率，这个就比较容易求了。

算概率肯定要知道总可能数和符合条件的数量。总可能数很显然是从 \(n\) 个灯里面选出 \(i-1\) 个，即 \(C_{n}^{i-1}\)。

xxxxxxxxxx #include <bits/stdc++.h>using namespace std;typedef long long LL;const int INF = 0x3f3f3f3f;const LL mod = 1e9 + 7;const int N = 200005;​LL a[N];char s[100];int f[1 << 15];int main() {    int n, m;    scanf("%d%d%*d", &n, &m);    for (int i = 0; i < n; i++) {        scanf("%s", s);        for (int j = 0; j < m; j++) {            if (s[j] == '1') a[i] ^= 1LL << j;       }   }    mt19937 g(time(0));    uniform_int_distribution u1(0, n - 1);    LL ans = 0;    int T = 50;    while (T--) {        vector b;        LL ak = a[u1(g)];        for (int i = 0; i < m; i++) {            if (ak >> i & 1) b.push_back(i);       }        memset(f, 0, sizeof f);        for (int i = 0; i < n; i++) {            int t = 0;            for (int j = 0; j < b.size(); j++) {                if (a[i] >> b[j] & 1) {                    t ^= 1 << j;               }           }            f[t]++;       }​        for (int i = 0; i < b.size(); i++) {            for (int j = 0; j < 1 << b.size(); j++) {                if ((j >> i & 1) == 0) f[j] += f[j ^ 1 << i];           }       }        int now = 0;        for (int i = 0; i < 1 << b.size(); i++) {            if (f[i] * 2 >= n && __builtin_popcount(i) > __builtin_popcount(now)) now = i;       }        if (__builtin_popcount(now) > __builtin_popcountll(ans)) {            ans = 0;            for (int i = 0; i < b.size(); i++) {                if (now >> i & 1) ans ^= 1LL << b[i];           }       }   }    for (int i = 0; i < m; i++) {        printf("%d", ans >> i & 1);   }    putchar('\n');    return 0;}cpp

我们可以考虑把这 \(k-1\) 个灯先拿出来，算方案数，然后再在任意两个灯之间插入 \(k-1\) 个灯。

接下来就很好算了，一共有 \(i-2\) 个空隙，所以总共是 \(n-(k-1)(i-2)\) 个，然后选出 \(i-1\) 个，所以一共就是 \(C_{n-(k-1)(i-2)}^{i-1}\)。

那么最终答案就是 \(\sum_{i=1}^{n}\frac{C_{n-(k-1)(i-2)}^{i-1}}{C_{n}^{i-1}}\)。

代码过于简单，就不放了。