CF1178D Prime Graph 题解

CF1178D Prime Graph 题解

首先考虑一个问题：如果没有边数是素数的限制，应该怎么构造？

这其实很简单，把原图连成一个环即可，每个点度数为 \(2\)。

---

接着考虑在原图上加边，注意到 \(3\) 也是个素数，所以每次可以任意选两个度数为 \(2\) 的点连边，此时仍然符合条件。这样加边最多可以加 \(\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor\) 次。

这时就要用到一个定理：在 \(n\) 到 \(\left\lfloor\frac{3n}{2}\right\rfloor\) 中一定存在着一个素数 （证明太难了，我不会）。

其实可以手推一下，在 \(1000\) 以内两个相邻的素数的差最大也就 \(20\)（\(887\) 和 \(907\)）。

所以只需依次加边，直到 \(m\) 是一个素数，此时新增的边的数量不超过 \(\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor\) 条。

---

代码中，我选的是每次连编号为 \(i\) 和 \(i+\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor\) 的边。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <bitset>
using namespace std;
int n,m;
bool f(int x)
{
    for(int i = 2;i*i <= x;i++)
        if(x%i==0)return 0;
    return 1;
}
int main()
{
    cin >> n;m = n;
    while(!f(m))m++;
    cout << m << endl;
    for(int i = 1;i <= n;i++)printf("%d %d\n",i,i%n+1);
    for(int i = 1;i <= m-n;i++)printf("%d %d\n",i,i+n/2);
    return 0;
}