高等数学

写在前面

本文会讲解极限，导数两方面的知识.在此之前，你需要了解三角函数的基本公式、变换等.写这篇文章的主要目的是让大家对极限、导数有一个系统的认识.因为作者之前东学一点西学一点，遇到了很多这个东西需要那个证明，那个又需要这个证明，等于是形成一个环了.

相信你看了这篇文章过后，会对极限、导数有一个更深刻的了解.

极限

定义

设 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 的某个去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数 \(\varepsilon\) ，总存在一个正数 \(\zeta\) ，使对于适合不等式 \(0<|x−x_0|<\zeta\) 的一切 \(x\) ，对应的函数值 \(f(x)\) 满足 \(|f(x)−A|<\zeta\)，那么称常数 \(A\) 为函数 \(f(x)\) 当 \(x\to x_0\) 时的极限，记作：

\[\lim_{x\to x_0} f(x) = A \]

用人话来讲，当 \(x\) 无限趋近于 \(x_0\) 时，函数 \(f(x)\) 的值为 \(A\).\(\lim\limits_{x\to A}\) 可简记为 \(x\to A\).

作者认为，极限和微积分大多数只需要感性理解即可，不用追究具体证明，就比如说 \(\lim\limits_{x\to x_0}x = x_0\) 这个东西真的要证明的话比较复杂，但是根据极限的定义就相当于是 \(x=x_0\) 时 \(x\) 的取值.如果真的想看证明的话可以参考《高等数学 第7版》，本文不再细讲.

一些定理以及推论

关于无穷

1. 两个无穷小的和是无穷小.
2. 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
3. 常数与无穷小的乘积是无穷小.
4. 有限个无穷小的乘积是无穷小.

极限运算法则

感性理解即可

1. \(\lim[f(x)\pm g(x)] = \lim f(x)\pm \lim g(x)\).
2. \(\lim[f(x)\times g(x)] = \lim f(x)\times \lim g(x)\).
3. 若 \(\lim g(x)\ne 0\)，则 \(\lim\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim f(x)}{\lim g(x)}\).
4. 设 \(c\) 为常数，则 \(\lim[cf(x)] = c\lim f(x)\).
5. 设 \(n\) 是一个正整数，则 \(\lim[f(x)]^n = [\lim f(x)]^n\).
6. 设函数 \(y = f[G(x)]\) 是由函数 \(u = g(x)\) 和 \(y = f(u)\)，复合而成.若：\(\lim\limits_{x\to x_0}g(x) = u_0\)，\(\lim\limits_{u\to u_0}f(u) = A\)，则：

\[\lim_{x\to x_0}f[g(x)] = \lim_{u\to u_0}f(u) = A \]

例题

1. 求 \(\lim\limits_{x\to 1}(2x-1)\).

\[\lim_{x\to 1}(2x-1) =\lim_{x\to 1}2x - \lim_{x\to 1}1 = 2\lim_{x\to 1}x - 1 = 2-1 = 1 \]

2. 求 \(\lim\limits_{x\to 2}\frac{x^3-1}{x^2-5x+3}\).

\[\lim_{x\to 2}\frac{x^3-1}{x^2-5x+3} = \frac{\lim\limits_{x\to 2}(x^3-1)}{\lim\limits_{x\to 2}(x^2-5x+3)} = \frac{7}{-3} = -\frac 7 3 \]

3. 求 \(\lim\limits_{x\to 3}\frac{x-3}{x^2-9}\).

这里看起来出现了分母 \(0\) 的情况，但实际上这里 \(x\) 只是无限趋近于 \(3\)，并没有等于 \(3\)，所以可以考虑上下同时约掉 \((x-3)\).

\[\lim_{x\to 3}\frac{x-3}{x^2-9} = \lim_{x\to 3}\frac{x-3}{(x-3)(x+3)} = \lim_{x\to 3}\frac 1 {x+3} = \frac 1 6 \]

4. 求 \(\lim\limits_{x\to \infty}\frac{\sin x}{x}\).

把 \(\frac{\sin x}{x}\) 看作是 \(\sin x\) 和 \(\frac 1 x\) 的乘积，因为 \(\lim\limits_{x\to \infty}\frac 1 x = 0\)，而 \(\sin x\) 是有界函数，根据有界函数与无穷小的乘积是无穷小，所以 \(\lim\limits_{x\to \infty}\frac{\sin x}{x} = 0\).

两个重要极限

这里将会说道两个非常重要的极限，在很多地方都能看到它们的影子.分别是 \(\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1\) 和 \(\lim\limits_{x\to \infty}(1+\frac 1 x)^x = e\).

先是一个引理：

夹逼准则

如果数列 \(\left\{x_n\right\},\left\{y_n\right\},\left\{z_n\right\}\) 满足从某项起，有 \(y_n\le x_n\le z_n\) 且 \(\lim\limits_{n\to \infty} y_n = \lim\limits_{n\to \infty} z_n = A\)，那么 \(\lim\limits_{n\to \infty}x_n = A\).（还是感性理解）

证 \(\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1\)

盗一张图（

不等号各边都取倒数得：\(\cos x<\frac{\sin x}{x}<1\).

然后因为 \(\lim\limits_{x\to 0}\cos x = \cos 0 = 1\)，根据夹逼准则，就有 \(\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}x = 1\).

例题

1. 求 \(\lim\limits_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}\).

\[\begin{align} \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2} &= \lim_{x\to 0}(\frac{\sin^2 x}{x^2}\times \frac 1 {1+\cos x}) \\ &= \lim_{x\to 0}(\frac{\sin x}x)^2\times \lim_{x\to 0}\frac 1 {1+\cos x} = \frac 1 2 \end{align} \]

2. 求 \(\lim\limits_{x\to 0}\frac{\arcsin x}x\).

令 \(t = \arcsin x\)，则 \(x = \sin t\)，当 \(x\to 0\) 时，\(t\to 0\)，由复合函数极限运算法则得：

\[\lim_{x\to 0}\frac{\arcsin x}x = \lim_{t\to 0}\frac t {\sin t} = 1 \]

证 \(\lim\limits_{x\to \infty}(1+\frac 1 x)^x = e\)

严格来讲这实际上并不是一个证明，而是 \(e\) 的定义.而这里需要证明的是 \((1+\frac 1 x)^x\) 有极限.

现在要证明 \((1+\frac 1 x)^x\) 有极限，考虑如果能证明数列 \(\left\{x_n\right\}\) 是单调递增的，而且有一个上界，那么就可以说明 \(\left\{x_n\right\}\) 是有极限的.

先证 \(\left\{x_n\right\}\) 单调递增，考虑当 \(x\) 取正整数 \(n\) 和 \(n+1\) 两种情况，用二项式定理来展开看.

\[\begin{align} x_n &= (1+\frac 1 n)^n \\ &= 1+\frac{n}{1!}\times \frac 1 {n}+\frac{n(n-1)}{2!}\times \frac 1 {n^2}+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}\times \frac 1 {n^3}+\ldots+\frac{n!}{n!}\times \frac 1 {n^n} \\ &= 1+1+\frac 1 {2!}(1-\frac 1 n)+\frac 1 {3!}(1-\frac 1 n)(1-\frac 2 n)+\ldots+\frac 1 {n!}(1-\frac 1 n)(1-\frac 2 n)\ldots(1-\frac{n-1} n) \end{align} \]

同理：

\[x_{n+1} = 1+1+\frac 1 {2!}(1-\frac 1 {n+1})+\frac 1 {3!}(1-\frac 1 {n+1})(1-\frac 2 {n+1})+\ldots \\ +\frac 1 {(n+1)!}(1-\frac 1 {n+1})(1-\frac 2 {n+1})\ldots(1-\frac n {n+1}) \]

比较两个式子，发现除了前两项外， \(x_n\) 的每一项都比 \(x_{n+1}\) 中对应的那一项小，而 \(x_{n+1}\) 最后还多出了一个正数，所以有 \(x_n<x_{n+1}\)，即 \(\left\{x_n\right\}\) 单调递增.

我们还需要证明数列 \(\left\{x_n\right\}\) 有一个上界，可以用放缩法来考虑.将展开的式子中每一个括号都用 \(1\) 来代替，这样得到的式子一定不比原来的式子小.

\[x_n \le 1+1+\frac 1 {2!}+\frac 1 {3!}+\ldots\frac 1 {n!}\le 1+(1+\frac 1 2+\frac 1 {2^2}+\ldots+\frac 1 {2^{n-1}}) < 1+2 = 3 \]

这就说明数列 \(\left\{x_n\right\}\) 是有界的，也就说明了数列 \(\left\{x_n\right\}\) 存在极限.我们将这个极限用 \(e\) 来表示，即

\[\lim_{x\to \infty}(1+\frac 1 x)^x = e \]

\(e\) 是一个无理数，小数点前几位为 \(e\approx 2.718281828\ldots\)

一些变换

1. \(\lim\limits_{x\to 0}(1+x)^{\frac 1 x}\).

令 \(t = \frac 1 x\)，则：\(\lim\limits_{x\to 0}(1+x)^{\frac 1 x} = \lim\limits_{t\to \infty}(1+\frac 1 t)^t = e\)

2. \(\lim\limits_{x\to \infty}(1-\frac 1 x)^x\).

令 \(t = -x\)，则：\(\lim\limits_{x\to \infty}(1-\frac 1 x)^x = \lim\limits_{x\to \infty}(1+\frac 1 x)^{-x} = \frac 1 {\lim\limits_{x\to \infty}(1+\frac 1 x)^x} = \frac 1 e\)

无穷小比大小

我们已经知道，两个无穷小的和、差、积都是无穷小，但是商就不一定了.比如说当 \(x\to 0\) 时 \(x^2,x,\sin x\) 都是无穷小，而 \(\lim\limits_{x\to 0}\frac x {x^2} = 0,\lim\limits_{x\to 0}\frac{x^2} x = \infty,\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x} x = 1\).两个无穷小的商的各种情况，反映了不同无穷小趋于 \(0\) 的速度.就比如 \(x^2\to 0\) 比 \(x\to 0\) 快些.

定义

• 如果\(\lim\frac{\beta}{\alpha} = 0\)，那么就说 \(\beta\) 是比 \(\alpha\) 高阶的无穷小，记作 \(\beta = o(\alpha)\)；
• 如果\(\lim\frac{\beta}{\alpha} = \infty\)，那么就说 \(\beta\) 是比 \(\alpha\) 低阶的无穷小；
• 如果\(\lim\frac{\beta}{\alpha} = c\ne 0\)，那么就说 \(\beta\) 与 \(\alpha\) 是同阶无穷小；
• 如果\(\lim\frac{\beta}{\alpha^k} = c\ne 0,k>0\)，那么就说 \(\beta\) 是关于 \(\alpha\) 的 \(k\) 阶无穷小；
• 如果\(\lim\frac{\beta}{\alpha} = 1\)，那么就说 \(\beta\) 与 \(\alpha\) 是等价无穷小.

关于指数/对数的极限

在此之前，你需要知道一些关于对数的运算：

1. 定义：如果 \(a^x = y\)，那么 \(\log_a y = x\)；特殊地，定义 \(\log_ex = \ln x\)；
2. 根据定义：\(\log_aa^x = x,a^{\log_ax} = x\)；
3. 对数的倒数：\(\because x^{\log_xy} = y\therefore x = y^{\frac 1 {\log_xy}}\therefore \log_yx = \frac 1 {\log_xy}\).特殊地，\(\log_ae = \frac 1 {\ln a}\)；
4. 对数里的乘除：\(\log_axy = \log_ax+\log_ay,\log_a\frac x y = \log_ax-\log_ay\)；
5. 对数里的幂：\(\log_ax^y = y\log_a,\log_ax^{\frac 1 y} = \frac{\log_ax} y\)；
6. 对数换底：\(\log_ac = \log_ab^{\log_bc} = \log_bc\times \log_ab\).

例题

1. 求 \(\lim\limits_{x\to 0}\frac{\log_a(1+x)} x\).

\[\lim_{x\to 0}\frac{\log_a(1+x)} x = \lim_{x\to 0}\log_a(1+x)^\frac 1 x = \log_ae = \frac 1 {\ln a} \]

当 \(a=e\) 时，有 \(\lim\limits_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)} x = 1\)，这个结论会在第三题中用到.

2. 求 \(\lim\limits_{x\to 0}\frac{a^x-1} x\).

令 \(t = a^x-1\)，则：

\[\lim_{x\to 0}\frac{a^x-1} x = \frac t {\log_a(1+t)} = \ln a \]

3. 求 \(\lim\limits_{x\to 0}\frac{(1+x)^\alpha-1} x(\alpha \in \mathbb{R})\).

令 \(t = (1+x)^\alpha-1\)，则：

\[\begin{align} \lim_{x\to 0}\frac{(1+x)^\alpha-1} x &= \lim_{x\to 0}[\frac{(1+x)^\alpha}{\ln(1+x)^\alpha}\times \frac{\alpha\ln(1+x)} x] \\ &= \lim_{x\to 0}\frac t {\ln(1+t)}\times \lim_{x\to 0}\frac{\alpha\ln(1+x)} x = \alpha \end{align} \]

到此，极限也就讲得差不多了，下面就到了导数的讲解.

导数

定义

先看一个行程问题：如果有一个人从一个地方到另一个地方，他在 \(x\) 这个时间点所处的位置为 \(f(x)\)，根据这个你可以画出他的“s-t”图.现在让你求他在时间 \(l\) 到 \(r\) 这一段中的平均速度，应该是多少？

很明显，根据小学的知识，平均速度就是 \(\frac{f(r)-f(l)}{r-l}\)，也可以表示为路程变化量除以时间变化量，即 \(\frac{\Delta f(x)}{\Delta x}\)，在图像上表示点 \((l,f(l))\) 到 \((r,f(r))\) 的斜率.这对于任意一段 \(l\) 到 \(r\) 都是成立的.现在问题来了，如果 \(l\) 和 \(r\) 相等怎么做，或者说他在某个点 \(x\) 的瞬时速度应该是多少？

我们可以换一种思考方式，考虑用一个点从右边来逼近一个点 \(x\).一开始这个点与点 \(x\) 之间的斜率与瞬时速度相差很多，但是当这个点越来越靠近点 \(x\) 时，点 \(x\) 和这个点的斜率也就越来越趋近于点 \(x\) 的瞬时速度.而当两个点的距离趋近于 \(0\) 时，它们的斜率即为 \(x\) 点的瞬时速度，而此时这两个点连成的直线就是点 \(x\) 的切线.用极限来表示即为：

\[\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \]

具体地，设有一个函数 \(f(x)\)，那么它的导数记作 \(f'(x)\)，定义为：\(f'(x) = \lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\).有时候也记作 \(f'(x) = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{f(x+\mathrm{d}x)-f(x)}{\mathrm{d}x} = \frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}\).

这样子，如果我们知道了“s-t”图，那么求导就得到了“v-t”图.

高阶导数

如果我们知道了位置函数 \(f(x)\)，求导一次就得到了速度函数 \(f'(x)\)，如果再求导一次就得到了加速度函数 \(f''(x)\).我们称\(f'(x)\) 为 \(f(x)\) 的一阶导数，那么 \(f''(x)\) 就是 \(f(x)\) 的二阶导数，即 \(\frac{\mathrm{d}(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x})}{\mathrm{d}x} = \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}\).

类似地，函数 \(f(x)\) 求导 \(n\) 次的结果就是 \(f(x)\) 的 \(n\) 阶导数，记为 \(f^{(n)}(x)\)，比如 \(f^{(2)},f^{(3)},f^{(114514)}\ldots\)

基本函数的求导

1. 常数求导为 \(0\)：\((C)' = 0\)

因为 \(y = C\) 这条直线上各个地方都是平的，所以求导就都是 \(0\).

2. 函数 \(f(x) = x^n\) 求导为 \(f'(x)=nx^{n-1}\)

\[\begin{align} f'(x) &= \frac{f(x+\mathrm{d}x)-f(x)}{\mathrm{d}x} = \frac{(x+\mathrm{d}x)^n-x^n}{\mathrm{d}x} \\ &= \frac{x^n+nx^{n-1}\mathrm{d}x+\ldots+nx\mathrm{d}x^{n-1}+\mathrm{d}x^{n-1}-x^n}{\mathrm{d}x} \\ &= nx^{n-1}+\frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}\mathrm{d}x+\ldots+\mathrm{d}x^{n-2} \end{align} \]

观察到除了第一项以外其他项都含 \(\mathrm{d}x\)，所以可以忽略掉，所以 \(f'(x) = nx^{n-1}\).

3. 函数 \(f(x) = x^\alpha\) 求导为 \(f'(x)=\alpha x^{\alpha-1}(\alpha\in \mathbb{R})\)

根据广义二项式定理得：

\[f'(x) = \frac{f(x+\mathrm{d}x)-f(x)}{\mathrm{d}x} = \frac{(x+\mathrm{d}x)^\alpha-x^\alpha}{\mathrm{d}x} = x^{\alpha-1}\times \frac{(1+\frac{\mathrm{d}x} x)^\alpha-1}{\frac{\mathrm{d}x} x} = \alpha x^{\alpha-1} \]

这里用到了指数/对数的极限的第三个式子，即 \(\lim\limits_{x\to 0}\frac{(1+x)^\alpha-1} x = \alpha\).

根据这一求导法则，我们可以很方便地求出任一幂函数的导数，比如求函数 \(f(x) = \sqrt x\) 的导数 \(f'(x)\)：

\[f'(x) = (x^{\frac 1 2})' = \frac 1 2x^{\frac 1 2-1} = \frac 1 2x^{-\frac 1 2} = \frac 1 {2\sqrt x} \]

又比如求函数 \(f(x) = \frac 1 x\) 的导数 \(f'(x)\)：

\[f'(x) = (x^{-1})' = (-1)x^{-1-1} = -x^{-2} = -\frac 1{x^2} \]

4. 函数 \(f(x) = \sin x\) 求导为 \(f'(x) = \cos x\)

首先有 \(\lim\limits_{x\to 0}\cos x = 1\).

\[\begin{align} f'(x) &= \frac{f(x+\mathrm{d}x)-f(x)}{\mathrm{d}x} = \frac{\sin(x+\mathrm{d}x)-\sin x}{\mathrm{d}x} \\ &= \frac{\sin x\cos \mathrm{d}x+\sin \mathrm{d}x\cos x-\sin x}{\mathrm{d}x} = \frac{\sin \mathrm{d}x\cos x}{\mathrm{d}x} \\ &= \frac{\sin \mathrm{d}x}{\mathrm{d}x}\times \cos x = \cos x \end{align} \]

类似地，你可以求出 \((\cos x)' = -\sin x\)：

\[\begin{align} f'(x) &= \frac{f(x+\mathrm{d}x)-f(x)}{\mathrm{d}x} = \frac{\cos(x+\mathrm{d}x)-\cos x}{\mathrm{d}x} \\ &= \frac{\cos x\cos \mathrm{d}x-\sin x\sin \mathrm{d}x-\cos x}{\mathrm{d}x} = \frac{-\sin \mathrm{d}x\sin x}{\mathrm{d}x} \\ &= \frac{\sin \mathrm{d}x}{\mathrm{d}x}\times (-\sin x) = -\sin x \end{align} \]

5. 函数 \(f(x) = a^x\) 求导为 \(f'(x) = a^x\ln x\)

\[f'(x) = \frac{f(x+\mathrm{d}x)-f(x)}{\mathrm{d}x} = \frac{a^{x+\mathrm{d}x}-a^x}{\mathrm{d}x} = a^x\times \frac{a^{\mathrm{d}x}-1}{\mathrm{d}x} = a^x\ln a \]

当 \(a=e\) 时，有 \((e^x)' = e^x\)，这说明以 \(e\) 为底的指数函数的导数就是自己，这事实上是 \(e\) 的另外一个定义：导数为自己本身的指数函数的底数.

6. 函数 \(f(x) = \log_ax\) 求导为 \(f'(x) = \frac 1 {x\ln a}\)

\[\begin{align} f'(x) &= \frac{f(x+\mathrm{d}x)-f(x)}{\mathrm{d}x} = \frac{\log_a(x+\mathrm{d}x)-\log_ax}{\mathrm{d}x} \\ &= \frac{\log_a\frac{x+\mathrm{d}x} x}{\mathrm{d}x} = \log_a(1+\frac{\mathrm{d}x} x)^{\frac 1 {\mathrm{d}x}} = \frac 1 x\log_a(1+\frac{\mathrm{d}x} x)^{\frac x {\mathrm{d}x}} \\ &= \frac 1 x\times \log_ae = \frac 1 {x\ln a} \end{align} \]

当 \(a=e\) 时，有 \((\ln x)' = \frac 1 x\).

函数的求导法则

讲完了基本函数的求导，下面就是函数的加减乘除以及反函数、复合函数的求导法则.

1. 函数和的求导法则：\([f(x)\pm g(x)]' = f'(x)\pm g'(x)\)

\[\begin{align} [f(x)\pm g(x)]' &= \frac{f(x+\mathrm{d}x)\pm g(x+\mathrm{d}x)-(f(x)\pm g(x))}{\mathrm{d}x} \\ &= \frac{f(x+\mathrm{d}x)-f(x)}{\mathrm{d}x}\pm \frac{g(x+\mathrm{d}x)-g(x)}{\mathrm{d}x} = f'(x)\pm g'(x) \end{align} \]

2. 函数积的求导法则：\([f(x)g(x)]' = f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\)

\[\begin{align} [f(x)g(x)]'&= \frac{f(x+\mathrm{d}x)g(x+\mathrm{d}x)-f(x)g(x)}{\mathrm{d}x} \\ &= \frac{f(x+\mathrm{d}x)g(x+\mathrm{d}x)-f(x)g(x+\mathrm{d}x)+f(x)g(x+\mathrm{d}x)-f(x)g(x)}{\mathrm{d}x} \\ &= \frac{(f(x+\mathrm{d}x)-f(x))g(x+\mathrm{d}x)+f(x)(g(x+\mathrm{d}x)-g(x))}{\mathrm{d}x} \\ &= f'(x)g(x+\mathrm{d}x)+f(x)g'(x) = f'(x)g(x)+f(x)g'(x) \end{align} \]

最后一步是因为 \(g'(x)\) 存在，所以 \(g(x)\) 在点 \(x\) 连续，所以有 \(\lim\limits_{\Delta x\to 0}g(x+\Delta x) = g(x)\).

特殊地，当 \(g(x) = C\)（\(C\) 为常数）时，有 \((Cf(x))' = Cf'(x)\).

根据两个函数的积的求导法则同理可得，三个函数的积的导数就是：

\[[f(x)g(x)h(x)]' = f'(x)g(x)h(x)+f(x)g'(x)h(x)+f(x)g(x)h'(x) \]

商的求导法则比较复杂，如果忘了直接推可能比较麻烦，作者觉得用复合函数来推可能会更好一点，所以放在后面讲qwq.

3. 复合函数求导法则

令函数 \(y = f[g(x)]\) 为函数 \(u = g(x)\) 和函数 \(y = f(u)\) 复合而成，那么 \(y' = f'(u)\times g'(x) = f'(g(x))\times g'(x)\)，证明就是：\(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}\times \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}\).

比如：

1. 求 \((\frac 1 {f(x)})'\).

将 \(\frac 1 {f(x)}\) 看成是 \(u = f(x)\) 和 \(y = \frac 1 u\) 复合而成，则：

\[(\frac 1 {f(x)})' = -\frac 1 {u^2}\times f'(x) = -\frac{f'(x)}{f^2(x)} \]

2. 求 \((\ln\cos(e^x))'\).

将两个函数的复合求导法则推广到三个即为：\([f(g(h(x)))]' = f'(g(h(x)))\times g'(h(x))\times h'(x)\).同理，也可以这样推广到多个函数的复合求导.

\[(\ln\cos(e^x))' = \frac 1 {\cos(e^x)}\times (-\sin(e^x))\times e^x = -e^x\tan e^x \]

4. 函数商的求导法则：\([\frac{f(x)}{g(x)}]' = \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}\)

\[\begin{align} (\frac{f(x)}{g(x)})' &= (f(x) \times \frac 1 {g(x)})' \\ &= f'(x) \times \frac 1 {g(x)} + f(x) \times (-\frac{g'(x)}{g^2(x)}) \\ &= \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)} \end{align} \]

比如求 \((\tan x)'\)：

\[(\tan x)' = (\frac{\sin x}{\cos x})' = \frac{(\sin x)'\cos x-\sin x(\cos x)'}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x+\sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac 1 {\cos^2 x} = \sec^2 x \]

用类似的方法可以得到正割函数、余切函数、余割函数的导数：

\[(\sec x)' = \sec x\tan x,(\cot x)' = -\csc^2 x,(\csc x)' = -\csc x\cot x \]

5. 反函数求导法则

令函数 \(x = f(y)\) 的反函数为 \(y = f^{-1}(x)\)，那么有：\([f^{-1}(x)]' = \frac 1 {f'(y)}\)，证明的话就是：\(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac 1 {\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}}\).

比如：

1. 求 \((\arcsin x)'\).

\[(\arcsin x)' = \frac 1 {(\sin y)'} = \frac 1 {\cos y} \]

注意这里的 \(y=\arcsin x\)，求导的结果当然不能出现 \(y\).观察到 \(\sin y = \sin(\arcsin x) = x\)，所以应该将所有含 \(y\) 的部分都转化为 \(\sin y\)，所以考虑将 \(\cos y\) 写成关于 \(\sin y\) 的形式.

因为 \(\sin^2 y+\cos^2 y = 1\)，所以 \(\cos y = \sqrt{1-\sin^2y} = \sqrt{1-x^2}\)，所以 \((\arcsin x)' = \frac 1 {\sqrt{1-x^2}}\).

用类似的方法可以求得反余弦函数的导数：\((\arccos x)' = -\frac 1 {\sqrt{1-x^2}}\).

2. 求 \((\arctan x)'\).

\[(\arctan x)' = \frac 1 {(\tan y)'} = \frac 1 {\sec^2 y} \]

因为 \(\sec^2 y = 1+\tan^2 y = 1+x^2\)，所以 \((\arctan x)' = \frac 1 {1+x^2}\).

用类似的方法可以求得反余切函数的导数：\((\operatorname{arccot} x)' = -\frac 1 {1+x^2}\).

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下面这张图，将求导法则和大部分基本函数求导归纳总了一下：

洛必达法则

介绍

如果当 \(x\to a\) 时，两个函数 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 都趋近于 \(0\) 或 \(\infty\)，那么极限 \(\lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}\) 可能存在，也可能不存在，通常把这种极限叫做未定义式，简记为 \(\frac 0 0\) 或 \(\frac \infty\infty\).之前两个重要极限中的 \(\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}x\) 就是 \(\frac 0 0\) 的一个例子.对于这类极限，即使存在也不能用“商的极限等于极限的商”来计算，这时候就需要洛必达法则了.

洛必达法则

若函数 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 满足：

1. \(\lim\limits_{x\to a}f(x) = \lim\limits_{x\to a}g(x) = 0\) 或 \(\lim\limits_{x\to a}f(x) = \lim\limits_{x\to a}g(x) = \infty\)；
2. 在点 \(a\) 的某去心领域内，\(f'(x)\) 及 \(g’(x)\) 存在且 \(g'(x)\ne 0\)；
3. \(\lim\limits_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}\) 存在或为无穷大，则：

\[\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)} \]

注意事项

1. 只有当 \(\lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}\) 是未定义式时才能使用洛必达法则，不要一看到商的极限就用洛必达法则，否则”洛“出来的结果就很可能完全是错的！

2. 除了 \(\frac 0 0\) 和 \(\frac \infty\infty\) 常见的未定义式的形式还有：\(0\times \infty,\infty-\infty,0^0,1^\infty,\infty^1\)，遇到这种情况应转化为 \(\frac 0 0\) 或 \(\frac \infty\infty\) 再计算.

3. 如果 \(\lim\limits_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}\) 仍是未定义式，那么可以继续使用洛必达法则，直到它不是一个未定义式，即：

\[\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x\to a}\frac{f''(x)}{g''(x)} = \ldots \]

例题

1. 求 \(\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}x\).

\[\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}x = \lim_{x\to 0}\frac{\cos x}{1} = 1 \]

2. 求 \(\lim\limits_{x\to 1}\frac{x^3-3x+2}{x^3-x^2-x+1}\).

\[\lim_{x\to 1}\frac{x^3-3x+2}{x^3-x^2-x+1} = \lim_{x\to 1}\frac{3x^2-3}{3x^3-2x-1} = \lim_{x\to 1}\frac{6x}{6x-2} = \frac 3 2 \]

在上式中，\(\lim\limits_{x\to 1}\frac{6x}{6x-2}\) 已经不是未定义式了，就不能再用洛必达法则了，之后做题时也应该经常注意.

3. 求 \(\lim\limits_{x\to \infty}[(\frac \pi 2-\arctan x)x]\).

这里出现了 \(0\times \infty\) 的形式，要先将其化成 \(\frac 00\) 的形式再计算.

\[\lim_{x\to \infty}[(\frac \pi 2-\arctan x)x] = \lim_{x\to \infty}\frac{\frac \pi 2-\arctan x}{\frac 1 x} = \lim_{x\to \infty}\frac{-\frac 1 {1+x^2}}{-\frac 1 {x^2}} = \lim_{x\to \infty}\frac{x^2}{1+x^2} = 1 \]

4. 求 \(\lim\limits_{x\to \frac \pi 2}(\sec x-\tan x)\).

这里出现了 \(\infty-\infty\) 的形式，根据 \(\sec x-\tan x = \frac{1-\sin x}{\cos x}\) 将其化成 \(\frac 00\) 的形式.

\[\lim_{x\to \frac \pi 2}(\sec x-\tan x) = \lim_{x\to \frac \pi 2}\frac{1-\sin x}{\cos x} = \lim_{x\to \frac \pi 2}\frac{-\cos x}{-\sin x} = 0 \]

5. 求 \(\lim\limits_{x\to 0}\frac{\tan x-x}{x^2\sin x}\).

如果直接用洛必达法则会比较复杂，所以可以考虑将 \(\sin x\) 用等价无穷小 \(x\) 来代替.

\[\begin{align} \lim_{x\to 0}\frac{\tan x-x}{x^2\sin x} &= \lim_{x\to 0}\frac{\tan x-x}{x^3} = \lim_{x\to 0}\frac{\sec^2 x-1}{3x^2} \\ &= \lim_{x\to 0}\frac{2\sec^2\tan x}{6x} = \frac 1 3\lim_{x\to 0}\frac{\tan x} x = \frac 1 3 \end{align} \]

泰勒展开

介绍

现在有一道题目，让你比较 \(0.1e^{0.1},\frac 1 9,-\ln 0.9\) 的大小，你可能完全找不到头绪.即使你很熟练这些函数的变换、运用，但你可能从没遇到过这种直接算函数值这种题目.泰勒展开就是用一个简单的方法算出自变量绝对值很小时函数的近似值.

对于一些比较复杂的函数，如 \(e^x,\sin x,\ln x\) 等，要求得函数在某一个点的值非常麻烦.为了方便，我们希望用一个多项式类近似表达一个函数.用多项式的好处就是我们只需要通过一些简单的加减乘除就能求得函数的近似值，而且泰勒展开的收敛速度非常快.一般来说，自变量绝对值小于 \(0.1\) 时，你只需要用泰勒展开前两到三项，误差就已经只有了 \(10^{-4}\) 左右了！

具体地，在 \(x\to 0(|x|\le 0.1)\) 时，有以下结论：

\[e^x \approx 1+x+\frac{x^2}2+\frac{x^3}6 \\ \ln(1+x) \approx x-\frac{x^2}2+\frac{x^3}3 \\ \sqrt{1+x} \approx 1+\frac x 2-\frac{x^2}8+\frac{x^3}{16} \]

这些公式都是怎么来的呢，马上你就知道了.

泰勒展开

设函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 处可以一直求导，我们希望找出一个关于 \((x-x_0)\) 的多项式

\[p(x) = a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+\ldots \]

使得 \(f(x) = p(x)\).一定会有这样的多项式满足条件吗？你可以这么理解，特定次数的多项式可以画出特定的形状，那么有无穷次数的多项式就可以表示出任意一种图像，所以一定有这样的多项式.

具体要怎么求呢？先观察以下式子：

\[f(x) = a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+a_3(x-x_0)^3\ldots \]

将 \(x=x_0\) 代入，发现除了常数项其它项都是 \(0\)，所以 \(a_0 = f(x_0)\).

怎么求一次项系数呢？可以先对两边同时求导，然后再将 \(x=x_0\) 代入，这样子常数项求导为 \(0\)，而其它项都有 \((x-x_0)\) 所以也是 \(0\)，所以有 \(a_1 = f'(x_0)\).

以此类推，如果要求 \(n\) 次项系数，就对两边同时求 \(n\) 阶导数，然后再代入 \(x=x_0\).这样子低于 \(n\) 次的项求导之后都是 \(0\)，而高于 \(n\) 次的项又都含有 \((x-x_0)\) 所以也为 \(0\)，这样子就只剩下 \(a_n\) 了.

所以 \(a_n = f^{(n)}(x_0)\)，吗？别忘了求导的系数.\(x^n\) 求导一次为 \(nx^{n-1}\)，再求导一次为 \(n(n-1)x^{n-2}\)，一直下去，求 \(n\) 阶导数即为 \(n!\)（\(!\) 表示阶乘）.所以其实是 \(n!a_n = f^{(n)}(x_0)\)，那么就有 \(a_n = \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}\).

于是有：

\[\begin{align} f(x) &= f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\frac{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3+\ldots \\ &= \sum_{i=0}^\infty\frac{f^{(i)}(x_0)}{i!}(x-x_0)^i \end{align} \]

取 \(x_0=0\) 时，就得到了麦克劳林公式：

\[f(x) = f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+\ldots \]

一般情况下，我们都是用的麦克劳林公式，因为函数一般在 \(0\) 点的值比较好算.即使是求 \(\ln x\) 的近似值，也一般根据 \(\ln(1+x)\) 的麦克劳林公式再算，不会取 \(x_0=1\) 再用泰勒展开，因为总体来说麦克劳林公式要简单一些.

一些例子

1. 求 \(e^x\) 的泰勒展开.

因为 \(e^x\) 求任意阶导数都是 \(e^x\)，而 \(e^0 = 1\) 所以有：

\[e^x = 1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\ldots \]

当 \(x=1\) 时，有 \(e = 1+1+\frac 1 {2!}+\frac 1 {3!}+\ldots\).

2. 求 \(\sin x\) 的泰勒展开.

\(\sin x\) 求导分别为 \(\cos x,-\sin x,-\cos x,\sin x\ldots\)，算上本身，每个函数在 \(0\) 点的值分别为：\(0,1,0,-1,0,1,0,-1,\ldots\).所以：

\[\sin x = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\ldots \]

类似地，有：

\[\cos x = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\ldots \\ \ln(1+x) = x-\frac{x^2}2+\frac{x^3}3-\frac{x^4}x+\ldots \\ (1+x)^\alpha = 1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}+\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}+\ldots(\alpha\in \mathbb{R}) \]

欧拉公式

观察 \(e^x,\sin x,\cos x\) 的泰勒展开，是不是特别像？能否构造一个东西将这三个东西联系在一起呢？

观察发现，对于 \(e^x\) 的每一项，都在 \(\sin x\) 或 \(\cos x\) 中出现过，但是有些项的符号不一样，所以我们需要代入一个周期为 \(4\) 的东西.而 \(i\) 就刚好满足这个条件，因为 \(i^2=-1,i^3=-i,i^4=1\)，所以考虑代一个 \(i\) 进去.

将 \(ix\) 代入 \(e^x\) 得：

\[\begin{align} e^{ix} &= 1+ix+\frac{(ix)^2}{2!}+\frac{(ix)^3}{3!}+\frac{(ix)^4}{4!}+\ldots \\ &= 1+ix-\frac{x^2}{2!}-\frac{ix^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}-\ldots \\ &= (1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\ldots)+i(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\ldots) \\ &= \cos x+i\sin x \end{align} \]

所以 \(e^{ix} = \cos x+i\sin x\).将 \(\pi\) 代入，有 \(e^{i\pi} = \cos\pi+i\sin\pi = -1\).整理一下，你就得到了数学中最完美的公式：

\[e^{i\pi}+1 = 0 \]

这个完美的公式将数学中最重要的 \(5\) 个数联系到了一起，它们分别是：\(e,i,\pi,1,0\).

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到这里，导数部分就差不多讲完了.如果你能从零开始自己证明一遍欧拉公式，那上面所有内容你就基本上全部掌握了.