《机器学习》第二次作业——第四章 线性判据与回归

线性判据基本概念

生成模型:给定训练样本 {𝒙𝑛},直接在输入空间内学习其概率密度函数𝑝(𝒙)。
在贝叶斯决策分类中,生成模型通常用于估计每个类别的观测似然概率𝑝(𝒙|𝐶𝑖),再结合先验概率得到联合概率𝑝(𝒙,𝐶𝑖)=𝑝(𝒙|𝐶𝑖)𝑝(𝐶𝑖)。然后,对所有类别进行积分,得到边缘概率密度函数𝑝 (𝒙) = Σ𝑖 𝑝(𝒙,𝐶𝑖)。最后,得到后验概率𝑝(𝐶𝑖|𝒙)。
生成模型的优势:可以根据p(x)采样新的样本数据;可以检测出较低概率的数据,实现离群点检测。
生成模型的劣势:在高维空间会出现维度灾难问题。
判别模型:给定训练样本{xn},直接在输入空间内估计后验概率P(Ci,x)
判别模型的优势:快速直接,省去了耗时的高维观测似然概率估计。
线性判据:若判别模型f(x)是线性函数,则f(x)为线性判据。
线性判据的适用范围:可以用于两类分类和多类分类,相邻两类之间的决策边界是线性的。
线性判据的优势:计算量少,适用于训练样本较少的情况。

判别式

决策边界

其中w是决策边界法向量,样本到决策边界的距离𝑟=𝑓(𝑥)||𝑤||

并行感知机算法

目标:学习参数w和w0
预处理


**目标函数****:针对所有被错误分类的训练样本,其输出取反求和:

目标函数求极值,由于偏导不含a,所以使用梯度下降法迭代更新参数。

串行感知机算法

  • 训练样本一个一个给出的时候,叫做串行。
  • 目标函数相对于并行,变成对当前训练样本的输出取反。遍历所有样本,当ak.T @ yn时更新ak+1。
  • 如果训练样本是线性可分的,感知机算法理论上会收敛。步长能够决定收敛的速度,以及是否收敛到局部或者全局最优点。目标函数如果对于任意a,存在常数L,使得|J(a)| < L,那么步长为1 / (2L) 的时候能够收敛到局部最优。如果目标函数是凸函数,局部最优就是全局最优。
  • 当样本位于决策边界边缘的时候,对样本的决策有很大的不确定性,加入边缘约束b,使得解出的w和w0不为0。

Fisher线性判据

  • Fisher:找到一个合适的投影轴,使得两类样本在轴上重叠部分最少。也就是类内样本离散程度更小,更聚集,类间差异更大,距离更远。
  • 类间样本用均值差度量,类内样本用协方差矩阵度量。
  • fisher中利用协方差的逆,将两类均值差的向量进行旋转,以适应类分布的形状。

支持向量机基本概念

  • 感知机思想:最小化分类误差;fisher:数据降到一维,最大化类间距离,最小化类内散度。
  • 支持向量机思想:两个类与决策边界最近的训练样本到决策边界的距离和最大。
  • 支持向量机需要将负类label设为-1。引入概念:支持向量。
  • 目标函数就是最大化间隔的距离和,约束条件是间隔里面没有样本,也就是输出值的绝对值要大于间隔值,ppt上为1。

拉格朗日乘数法

  • 利用拉格朗日乘数法解决条件优化问题。
  • 分为不等式约束和等式约束的优化问题。
  • 等式约束中g(x) = 0的条件,使得λ可正可负,f(x)和g(x)的梯度方向一定平行,但方向可能同向或者反向,且梯度幅值不同。
  • 不等式约束分为两种情况,一种是极值点在可行域内,相当于g(x) < 0,那么必有λ为0;另一种是极值点落在可行域边界,那么λ大于0,即f(x)的梯度方向将和g(x)平行且相反。

拉格朗日对偶问题

  • 对于要求解的主问题,往往难以求解。因此引入对偶函数,给出了主问题最优值的下界。
  • 对偶函数与x无关,并且是凹函数。目标函数是凹函数,约束条件是凸函数,那么对偶问题是凸优化问题,不论主函数的凹凸性。
  • 凸优化的性质:局部极值点就是全局极值点,于是对于主问题的求解,往往可以求解其对偶问题,得到主问题的下界估计。
  • 分为强对偶性和弱对偶性。

支持向量机学习算法

  • 支持向量机目标函数的求解:带不等式约束的优化问题使用拉格朗日对偶法求解。
  • 对偶问题的求解:二次规划问题+参数最优化。
  • w最优解

软间隔支持向量机

  • 软间隔:克服过拟合。
  • 软间隔克服过拟合的原理:可以将SVM的硬间隔(hard margin)放宽到软间隔(soft margin),允许一些训练样本出现在间隔区域内,从而具备一定的克服过拟合的能力)
  • 设计思想:引入松弛变量。
  • 分类器表达

线性判据多类分类

  • 多类分类的本质是非线性。于是需要多个分类器进行组合。
  • 方式一:one2all,需要K个分类器,并假设每个类与其他类线性可分。样本属于分类器输出为正的类。决策边界垂直于wi。不适合数据集不平衡,会出现重叠区域和拒绝区域。
  • 方式二:线性机,对于输出,不再使用选择值为正的类,而是选择输出最大的类。因为离分类边界越远,该类被判错可能性越小,由此解决了重叠区域,但仍不能解决拒绝区域。
  • 方式三:one2one,化为一个正类,其余类均为负类,共需要K(K - 1) / 2个分类器,能够避免数据集不平衡的问题。如果所有和Ci相关的分类器输出都为正,那么x属于Ci。可以适用于线性不可分的情- 况,实现非线性分类。仍存在拒绝区域,于是使用输出max思想,选择与其成对的所有分类器输出之和最大的类。

线性回归

  • 输入样本分为tall数据和wide数据。
  • 线性回归需要学习参数W,目标函数使用均方误差,最小化其输出和真值的误差。一般使用二范式。
  • 使用最小二乘法或者梯度下降法来目标优化。
  • 其中,如果X.T @ X是非奇异矩阵,那么W有唯一解,否则,W有无穷个解或者无解。对于tall数据,X.T @ X是非奇异矩阵的可能性大,如果是wide数据,那必定是奇异矩阵。因此,最小二乘法适合tall数据。
  • 最大似然等同于最小化均方误差。

逻辑回归的概念

  • 当两个类别数据的协方差不同时,MAP分类器的决策边界是超二次型曲面,非线性。
  • 当观测是高斯分布并且协方差矩阵相同时,利用logit变换,后验概率对数比率等于线性判据输出。
  • 线性模型f(x)输入sigmoid函数,得到logistic回归,就是其后验概率。
  • 逻辑回归是一个非线性模型,对于分类任务,只能处理线性可分的情况;对于拟合任务,能够拟合有限的非线性曲线。

逻辑回归的学习

  • 逻辑回归需要学习w和w0。负类标签设为0。
  • 利用最大似然估计,对于所有训练样本,最大化输出标签分布的似然函数,求得参数的最优值。
  • 利用梯度下降法,迭代得到w和w0。
  • sigmoid函数会出现梯度消失问题,在输出值接近于1的时候,输入的巨大变化也只能导致输出的小范围变动。所以在初始化的时候,选择较小的初始值,并设置阈值,到达阈值的精度时,停止迭代,防止过拟合。在神经网络中,利用relu等激活函数来代替sigmoid。

Softmax判据的概念

  • 分类K个类,构建K个线性分类器,分为该类和剩余类。由于所有类的后验概率和为1,可以得到任意类的后验概率表示。也就使得K个线性分类器能够计算得到每个类的后验概率。
  • 该方法叫做Softmax函数,由于K个分类器的输出,特别是一个类远大于其他类,此时需要将其进行exp函数和归一化操作。与max函数不同的是,Softmax函数可微分。
  • 由此得到Softmax判据,就是得到最大Softmax函数计算得到的那个类的下标。在分类任务时,等同于one2one的线性机。
  • Softmax判据常用于神经网络的输出层之后,比如利用CNN来分类手写数字时,得到其输出最大值下标。
  • Softmax判据是一个非线性模型,对于分类任务,能够处理多个类别、每个类别和其余类线性可分的情况;对于回归任务,能够拟合exp形的非线性曲线。

Softmax判据的学习

  • Softmax判据需要学习K组w和w0。
  • 和逻辑回归的学习相似,目标函数能够使用交叉熵解释。不同的是,使用one-hot编码,模型输出的概率分布符合多项分布。
  • 在目标函数梯度下降求w和w0时,与逻辑回归不同的是,Softmax针对每个输出类别分别计算梯度值,但每个参数的梯度值与所有的类别样本都相关。
  • Softmax判据输出为非线性,但只能刻画线性分类边界。

核支持向量机(Kernel SVM)

  • Kernel思想是将低维空间中线性不可分的样本数据,找到一个映射,使得这些样本数据在高维空间线性可分。
  • 由此,就能够使用SVM来进行分类。
  • 核函数:在低维空间的一个非线性函数,包含向量映射和点积计算。
  • 核SVM的决策是关于测试样本和支持向量的核函数的线性组合。决策边界是非线性的。
  • 同样的,在高维空间中计算SVM时,也需要计算其对偶问题的解,对于软间隔SVM也需要引入松弛量。
  • 多项式核可以解决线性不可分问题,但当参数较大时,计算困难,超参数多。
  • 高斯核具有更明显的非线性,但容易过拟合。
posted @ 2021-05-26 23:55  matoka  阅读(192)  评论(0编辑  收藏  举报