P3195 [HNOI2008]玩具装箱 题解

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P3195 [HNOI2008]玩具装箱

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一道比较模板的斜率优化题目

先写出转移方程

\(F[i]\)表示前\(i\)个已经装箱完毕的最优解,\(S[i]\)表示前\(i\)项\(C[i]+1\)的和，

\[F[i]=F[j]+(S[i]-S[j]+L+1)^2(j≤i) \]

用\(L+1\)代替\(L\)比较好处理，于是方程变成

\[F[i]=F[j]+(S[i]-S[j]+L)^2(j≤i) \]

我们要把式子变化成\(kx+b\)的形式，

要注意：移项要遵循的原则是：把含有 \(function(i) \ast function(j)\) 的表达式看作斜率 $k $乘以未知数 \(x\)，含有 \(F[i]\) 的项必须要在\(b\)的表达式中，含有\(function(j)\) 的项必须在\(y\)的表达式中。如果未知数\(x\) 的表达式单调递减，最好让等式两边同乘个\(−1\)，使其变为单增。

\[F[i]=F[j]+(S[i]-S[j]+L)^2(j≤i) \]

\[F[i]=F[j]+(S[i])^2+2 \ast S[i]\ast S[j] -2 \ast S[i]\ast L +(S[j]+L)^2 \]

\[(2\ast S[i])\ast S[j]+F[i]-(S[i])^2+2 \ast S[i] \ast L=F[j]+(S[j]+L)^2 \]

这里的\(k=(2\ast S[i])\)，\(x=S[j]\) ，\(b=S[j]+F[i]-(S[i])^2+2 \ast S[i] \ast L\)，\(y=F[j]+(S[j]+L)^2\)

考虑到我们目标直线的\(k=2 \ast S[i]\)是不断递增的，凸包上的斜率也是不断递增的，就想到用单调队列来维护。

要注意一个细节，初始的时候\(Q\)要给\(0\)，不能给\(S[1]\)，否则就认为\(1\)号必须单独装了

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int maxn=50005;
inline int read(){
	int ret=0,f=1;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-f;ch=getchar();}
	while(ch<='9'&&ch>='0')ret=ret*10+ch-'0',ch=getchar();
	return ret*f;
}
LL N,L,hed=1,til,Q[maxn],S[maxn],dp[maxn];
inline LL X(LL j){return S[j];}
inline LL Y(LL j){return dp[j]+(S[j]+L)*(S[j]+L);}
inline long double calc(LL i,LL j){return (long double)(Y(i)-Y(j))/(X(i)-X(j));}
int main(){
	freopen("P3195.in","r",stdin);
	freopen("P3195.out","w",stdout);
	N=read();L=read()+1;
	for(int i=1;i<=N;i++)S[i]=S[i-1]+read()+1;
	Q[++til]=0;
	for(int i=1;i<=N;i++){
		while(hed<til&&calc(Q[hed],Q[hed+1])<=2*S[i])++hed;
		int j=Q[hed];dp[i]=dp[j]+(S[i]-S[j]-L)*(S[i]-S[j]-L);
		while(hed<til&&calc(Q[til-1],Q[til])>=calc(Q[til],i))--til;
		Q[++til]=i;
	}
	printf("%lld\n",dp[N]);
	return 0;
}