二分图匹配（匈牙利算法）

作用

求二分图中最大匹配，\(O(n\times(n+m))\)。

代码

inline bool dfs(int u){
	for(int v:G[u]){
		if(!vis[v]){
			vis[v]=1;
			if(!link[v]||dfs(link[v])) return link[v]=u,1;
		}
	}
	return 0;
}
for(int i=1;i<=n;++i){
	memset(vis,0,sizeof vis);
	dfs(i);
}

细节

• 主函数 for 循环只枚举左部。

• dfs 中 \(u\) 只涉及左部，\(v\) 只涉及右部，故左右可以有相同下标。

• 匈牙利算法总是尽可能让新来的被连接，所以最小字典序可以从大到小枚举。

建模

关注谁与谁匹配。

扩展

二分图最小点覆盖（等于最大匹配）

二分图最大独立集（等于 \(\text{点数} - \text{最大匹配}\) ）

最大团（补图是二分图）（等于补图最大独立集）

DAG最小链划分（无重复点）（等于拆点最大匹配）

DAG最小链覆盖（floyd传递闭包转为划分）