决策单调性

定义

顾名思义，就是说在 DP 取最值的过程中选的转移点 \(j\) 是单调的。只要有这个性质，就可以优化枚举转移的复杂度。

充要条件

\[f_i=\text{最值}(g_j+w(j+1,i)) \]

\(w\) 满足四边形不等式。

这里以取 \(\min\) 为例。假设有决策点 \(j_1<j_2\)，\(w\) 满足四边形不等式等价于 \(\Delta w(j_1)\ge \Delta w(j_2)\)，这样才能让它一直是单调的。只要把 \(\Delta w\) 转换成两个 \(w\) 相减就可以得到式子 \(w(j_1,i_2)-w(j_1,i_1)\ge w(j_2,i_2)-w(j_2,i_1),j_1<j_2<i_1<i_2\)，再移项就是 \(w(j_1,i_1)+w(j_2,i_2)\le w(j_1,i_2)+w(j_2,i_1)\)。即 \(\text{交叉}\le\text{包含}\)。

以上三种形式，只要可以验证（指暴力）某一个，即可认为 \(w\) 满足四边形不等式。

推导决策单调性

反证法，设 \(f_{i1}\leftarrow f_{j2},f_{i2}\leftarrow f_{j1}\)，可以得到：

\[\begin{cases} f_{j2}+w(j2,i1)\le f_{j1}+w(j1,i1)\hspace{2.5cm}1\\ f_{j2}+w(j2,i2)\ge f_{j1}+w(j1,i2)\\ w(j_1,i_1)+w(j_2,i_2)\le w(j_1,i_2)+w(j_2,i_1)\hspace{1cm}2 \end{cases} \]

1 式加 2 式得：

\[\begin{cases} f_{j2}+w(j2,i2)\le f_{j1}+w(j1,i2)\\ f_{j2}+w(j2,i2)\ge f_{j1}+w(j1,i2) \end{cases} \]

矛盾。

应用

当 \(g_j\) 与 \(f_j\) 无关时，直接整体二分。

否则，转化一下。决策点单调等价于每个决策点被转移到的集合是连续区间且单调。

当 \(\text{交叉}\le\text{包含}\) 时，有这样的图像（y 轴应为 \(f_j+w(j,i)\)）：

求 \(\min\) 维护红色，用单调队列加二分；求 \(\max\) 维护黑色，单调栈+二分。

\(\text{交叉}\ge\text{包含}\) 时反之。

推广

满足四边形不等式和 \(w(j1,i2)\le w(j2,i1)\) 后，同样可以优化区间 DP、前 \(i\) 分 \(j\) 段的 DP。