BZOJ 2173 luoguo P4451 [国家集训队]整数的lqp拆分

整数的lqp拆分

【问题描述】

lqp在为出题而烦恼，他完全没有头绪，好烦啊…

他首先想到了整数拆分。整数拆分是个很有趣的问题。给你一个正整数N，对于N的一个整数拆分就是满足任意m>0，a₁ ,a₂ ,a₃…a_m>0，且a₁+a₂+a₃+…+a_m=N的一个有序集合。通过长时间的研究我们发现了计算对于N的整数拆分的总数有一个很简单的递推式，但是因为这个递推式实在太简单了，如果出这样的题目，大家会对比赛毫无兴趣的。

然后lqp又想到了斐波那契数。定义F₀=0，F₁=1，F_n=F_n-1+F_n-2 (n>1)，F_n就是斐波那契数的第n项。但是求出第n项斐波那契数似乎也不怎么困难…

lqp为了增加选手们比赛的欲望，于是绞尽脑汁，想出了一个有趣的整数拆分，我们暂且叫它：整数的lqp拆分。和一般的整数拆分一样，整数的lqp拆分是满足任意m>0，a₁ ,a₂ ,a₃…a_m>0，且a₁+a₂+a₃+…+a_m=N的一个有序集合。但是整数的lqp拆分要求的不是拆分总数，相对更加困难一些。对于每个拆分，lqp定义这个拆分的权值F_a1F_a2…F_am，他想知道对于所有的拆分，他们的权值之和是多少？简单来说，就是求

 

由于这个数会十分大，lqp稍稍简化了一下题目，只要输出对于N的整数lqp拆分的权值和mod 10⁹+7输出即可。

【输入格式】

输入的第一行包含一个整数N。

【输出格式】

输出一个整数，为对于N的整数lqp拆分的权值和mod 10⁹+7。

【样例输入】

3

【样例输出】

5

【数据说明】

20%数据满足：1≤N≤25

50%数据满足：1≤N≤1000

100%数据满足：1≤N≤1000000

 

luogu链接

 打表发现 ans[i] = ans[i - 1] * 2 + ans[i - 2]

 

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const long long MAXN = 1010000;
const long long INF = 1000000007;
long long n;
long long ans[MAXN];

void solve() {
    ans[1] = 1;
    ans[2] = 2;
    ans[3] = 5;
    for (int i = 4; i <= n; ++i) {
        ans[i] = ans[i - 1] * 2 + ans[i - 2];
        while (ans[i] > INF) ans[i] -= INF;
    }
    printf("%lld\n", ans[n]);
}

int main () {
    scanf("%lld", &n);
    solve();
    return 0;
}