分金币 BZOJ 3293

分金币

【问题描述】

圆桌上坐着n个人，每人有一定数量的金币，金币总数能被n整除。每个人可以给他左右相邻的人一些金币，最终使得每个人的金币数目相等。你的任务是求出被转手的金币数量的最小值。

【输入格式】

第一行为整数n（n>=3），以下n行每行一个正整数，按逆时针顺序给出每个人拥有的金币数。

【输出格式】

输出被转手金币数量的最小值。

【样例输入】

4

1

2

5

4

【样例输出】

4

【样例说明】

设四个人编号为1,2,3,4。第3个人给第2个人2个金币（变成1,4,3,4），第2个人和第4个人分别给第1个人1个金币。

【数据范围】

N<=<=100000,总金币数<=10^9

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题解：

设a[i]为第i个人的初始金币数，

设p为a数组的平均数，

设c[i]为第i个人从第i-1个人拿到的金币数，那么：

将上列等式经过数学转换后可得:

C[i] = c[n] - (a[i] +···+ a[n]) + (n - i + 1)p，

答案即为

Ans = |c[1]| +···+ |c[n]|，

那么设

e[i] = - (a[i] +···+ a[n]) + (n - i + 1)p;，

因为a数组与p已知，所以e[i]已知，

那么答案

Ans = |e[1] - (-c[n])| +···+|e[n] - (-c[n])|，

观察式子可知答案即为在数轴上-c[n]分别到e[1] ~ e[n]的距离之和，

要使答案最小，则-c[n]取e数组的中位数时最优，最后统计答案。

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
inline int Get()
{
    int x = 0;
    char c = getchar();
    while('0' > c || c > '9') c = getchar();
    while('0' <= c && c <= '9')
    {
        x = (x << 3) + (x << 1) + c - '0';
        c = getchar();
    }
    return x;
}
int n;
long long cc;
long long sum;
long long ans;
long long c[100233];
long long a[100233];
int main()
{
    n = Get();
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        a[i] = Get();
        sum += a[i];
    }
    sum /= n;
    a[0] = a[n];
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
        c[i] = c[i - 1] + a[i - 1] - sum;
    sort(c + 1, c + 1 + n);
    cc = -c[(n >> 1) + 1];
    for(int i = 1; i <= n; ++i) ans += abs(c[i] + cc);
    printf("%lld", ans);
    fclose(stdin), fclose(stdout);
}