怎么都在写总结啊

好了，那我也来总结一下。

分块

整块打 \(tag\)，散块暴力重构而达到复杂度平衡：数列分块入门 2，由乃打扑克等，这个常见。

把查询 or 修改拆成 \(n\sqrt n\) 次，利用分块的优良性质做题：你的名字等，这也常见。

对时间分块来处理撤销 or 复读等操作，一般适用于查询复杂度较小的题目：方方方的数据结构等，据说不常见。

预处理每块的某信息 or 前缀信息 or 块间信息，然后查询，也可以叫在线莫队：历史的研究，蒲公英等，比较常见。

将某操作拆分成分 \(\frac nB\) 步操作来平衡修改和查询的复杂度：kamen，弹飞绵羊等，不太多但是应该考到了就不至于不会。

阈值分治

一部分预处理另一部分直接做，非常常见：限りなく灰色へ，私は雨等。

对于相关于除法 or 乘法 or 取模等操作，可以考虑直接做一部分，另一部分对每一个值扫描线一遍，类似于上一个：你的名字，「知りたくなかった、失うのなら」。

用来卡空间之类的，发现大 or 小的部分暴力不是不行就可以这样，线段树底层分块也是这个思路。交友问题，rgxsxrs。

一些常见的和阈值有关的东西，懒得一个开一整张了，都放这里了。

1. 一个数 \(a\) 的大于 \(\sqrt a\) 的质因子只有 \(1\) 个，同理大于 \(\sqrt [3]n\) 的最多 \(2\) 个。

2. 如果数据范围有 \(\sum n\) 状物。

   1. 不同的 \(n\) 最大有 $ \sqrt {\sum n}$ 个。
   2. 大于 $ \sqrt {\sum n}$ 的 \(n\) 最大有 \(\sqrt {\sum n}\) 个。

3. 如果数据范围有 \(n \times m\) 状物，想到这两个必然有一个小于根号。

4. 考虑子集问题可以把 \(2^n\) 拆成两个 \(2^{\frac n2}\)，一半子集一半超集。

5. 别只想根号，想想 \(\sum _{i=1} ^n\frac ni = n\ln n\) 之类的东西。

莫队

基础操作，和上面对应，拆成 \(n\sqrt m\) （之类的状物）次修改然后结合分块，网络管理，数列分块 9之类的，巨多无比。

子树问题或 \(k\) 级儿子问题，可以转化为序列问题跑莫队Blood Cousins Return，植物生命力。

发现回滚莫队的性质很适合优化多次查询的 DP：好吃的题目。

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感觉这样子写下去就写不完了，写点别的。

DP

常见的诸如边 DP 边处理某种和从而优化的东西，如前缀和，二进制和之类的。

在 bfs 等过程中 DP，比较有趣感觉，我能找到的题目不在 luogu，不粘了。

考虑相对排名而不考虑具体位置，感觉这个状态设计比较高级，放这里了 Permutation。

很多时候大力可以解决很多东西，设计状态不要担心过多，后续优化就好：Modern Art 3 G。

同余最短路等建模图论，背包。

分治是好东西，解决很多问题：暑假时在做什么？有没有空？可以来学物理吗？

数学

这个我真不会。

图论

这个我也是菜到离谱了。

其他

使用 st 表优化复杂度一般可以扔一个 \(\log\)，如区间 |，&，gcd，lca 之类的，但是一定要算空间。

注意到 \(\gcd_{[l,r]}\) 在确定一个端点后只会更新 \(\log\) 次。

bitset 的左右移的复杂度也是 \(\frac nw\)，小心，别写巨大东西，不如暴力就老实了。
我写过的： (((((((bit[a] << b) >> x) << x) << (N - (y + 1))) >> (N - (y + 1))) | now) == now);

不要相信任何 stl 容器的常数，尤其不要相信 unordered_map。

出现博弈考虑一下二进制下打表找规律。

一些复杂度有关的东西。

\[\sum _{i=\sqrt n}^n \frac{1}{i^2} = \frac 1{\sqrt n} \]

\[\sum _{i=1} ^n\frac ni = n\ln n \]

\[d(n)\approx n^{\frac{\ln2}{\ln\ln n}} \]