堆排序的时间复杂度分析

本文包括堆排序的代码例子(图示)时间复杂度分析 

 

#define MAXSIZE 10000

/*全局变量,需要排序的数组*/
long long int num[MAXSIZE];

/*对非叶子结点和它的孩子结点进行调整,使其重新成为大根堆,用于堆排序*/
void NodeSort(long long int node,long long int len)
{
    long long int left = node * 2 + 1, right = left + 1, max_node = left;
    while (left < len)
    {
        if (right < len && num[left] < num[right])            
                max_node = right;
        if (num[node] < num[max_node])
        {
            swap(node, max_node);
            node = max_node;
            left = node * 2 + 1;
            right = left + 1;
            max_node = left;
        }
        else
            return;
    }
}

/*堆排序*/
void HeapSort(long long int len)
{
    while (len != 0)
    {
        for (long long int i = len; i > 0; i -= 2)//将非叶子结点依次进行调整,保证每次for循环结束之后都是大根堆
            NodeSort((i - 1) / 2, len);
        swap(len - 1, 0); //首尾元素交换       
        len--;//对除了最后一个元素外的数组继续进行排序
    }
}

 

 

例子图示:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 之后按照上述的调整堆的方式,不断进行调整,直到堆只剩下根节点的时候,数组有序

 

下面的一些计算可以代入上面的例子理解

 

堆排序分为两步,即初始化堆、调整堆。

 

两个步骤都要调用一个调整结点顺序的函数NodeSort,以大根堆为例,操作为:

1:如果父亲结点num[a]和它的两个孩子结点num[2a+1], num[2a+2]满足um[a] > max{num[2a+1], num[2a+2]},那么返回;

2:如果不满足堆的性质,那么将父亲结点num[a]和较大孩子结点max{num[2a+1], num[2a+2]}交换,

3:将原来较大的孩子结点作为父亲结点,重复上述操作,直到孩子结点是叶子结点为止

 

初始化堆的时间复杂度分析

初始化堆的时候,对于每个非叶子结点,都要调用上述函数,将它与它的孩子结点进行比较和交换,顺序是从后向前。

以操作2作为基本操作,对每一层都完全铺满的堆进行分析,

设元素个数为n,则堆的高度k=log(n+1)≈log n,非叶子结点的个数为2^(k-1)-1

假设每个非叶子结点都需要进行调整,则第i层的非叶子结点需要的操作次数为k-i,

第i层共有2^(i-1)个结点,则第i层的所有结点所做的操作为k*2^(i-1)- i*2^(i-1),

共k-1层非叶子结点,总的操作次数为 

    

 

化简可得,上式=2^k-k+1,将k=log(n+1)≈log n代入,得n - log n +1,

所以,初始化堆的复杂度为O(n)

 

调整堆的时间复杂度分析

调整堆的复杂度计算和初始化堆差不多,

假设根节点和排在最后的序号为m的叶子结点交换,并进行调整,那么调整的操作次数 = 原来m结点所在的层数 = 堆的高度(因为m结点在堆的最后)= log m

共n个结点,调整的总操作次数为

     

 

化简可得,上式=log (n-1)! ≈ n*log n

 所以,调整堆的复杂度为O(n*log n)

 

所以,总体复杂度为O(n*log n)

posted @ 2020-07-09 20:44  _lyl  阅读(11852)  评论(4编辑  收藏  举报