动态规划之背包

1. 0 1 背包

• 什么是 0 1 背包？
  有 n 个物品和容量是 v 的背包，每件物品只能选一次，第 i 件物品的体积是 v[i],价值是 w[i],
  求放物品进入背包后，体积不超过，但是价值最大。
• 状态转移方程
  dp[i][j]表示从1 到 i 中选择，总体积不超过 j 的最大价值。
  然后我们可以思考 dp[i][j] 是从哪里来的？思考 第 i 件物品可以选也可以不选，就有两种情况，
  dp[ i ][ j ] = dp[ i - 1 ][ j ]
  dp[ i ][ j ] = dp[ i - 1 ][ j - v[ i ] ] + w[ i ]
  故 dp[ i ][ j ] = max ( dp[ i - 1 ][ j ] , dp[ i - 1 ][ j - v[ i ] ] + w[ i ] )

#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;
const int N = 1010;
int n,m;
int v[N],w[N];
int f[N][N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1;i <= n;i ++)
        cin>>v[i]>>w[i];
    for(int i = 1;i <= n;i ++)
        for(int j = 0;j <= m;j ++)
    {
        f[i][j] = f[i - 1][j];
        if(j >= v[i])
            f[i][j] = max(f[i][j],f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);
    }
    cout<<f[n][m]<<endl;
    return 0;
}

• 优化（ 一维数组 ）
  我们再来观察状态方程 dp[ i ][ j ] = max ( dp[ i - 1 ][ j ] , dp[ i - 1 ][ j - v[ i ] ] + w[ i ] )，
  dp[ i ][ j ] 只于第 i - 1 层的数据有关，所以我们可以用一维数组，就是控制 i ，一层层来更新直至更新到 n 层，
  此时我们要注意我们要从后往前，因为一层层从前往后更新的话，我们用的 dp[ i - 1 ][ j - v[ i ] ] 会在第 i层首先会被更新，就不正确了
  而第二层循环我们只需要考虑 j >= v[ i ] 的情况。

#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;
const int N = 1010;
int n,m;
int v[N],w[N];
int f[N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1;i <= n;i ++)
        cin>>v[i]>>w[i];
    for(int i = 1;i <= n;i ++)
        for(int j = m;j >=v[i];j --)
    {
            f[j] = max(f[j],f[j - v[i]] + w[i]);
    }
    cout<<f[m]<<endl;
    return 0;
}

1. 完全 背包

• 什么是 完全 背包？
  有 n 个物品和容量是 v 的背包，每件物品有无限件可用，第 i 件物品的体积是 v[i],价值是 w[i],
  求放物品进入背包后，体积不超过，但是价值最大。
• 状态表示
  f[ i ][ j ] 表示前 i 个物品，且总体积不大于 j 的所有选法的最大值
• 状态计算
  参考 0 1 背包，思考 f[i][j] 是从哪里来的？第 i 件物品可以选 0 个，1个 .....k个 ，取最大值即可
  f [ i ][ j ] = f [ i - 1,j - k * v [ i ] ] + k * w [ i ]

#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;
const int N = 1010;
int n,m;
int v[N],w[N];
int f[N][N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1;i <= n;i ++)
        cin>>v[i]>>w[i];
    for(int i = 1;i <= n;i ++)
        for(int j = 0;j <= m;j ++)
             for(int k = 0;k* v[i] <= j;k ++)
    {
            f[i][j] = max(f[i][j],f[i - 1][j - v[i] * k] + k * w[i]);
    }
    cout<<f[n][m]<<endl;
    return 0;
}

• 优化
  f [ i ][ j ] = max(f [ i ][ j ] , f [ i - 1 ][ j - v [ i ] * k ] + k * w [ i ]); k = 0 ,1,2....
  f[i][ j - v[ i ] ] 展开发现 f [ i ][ j ] = f[i][ j - v[ i ] ] + w

#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;
const int N = 1010;
int n,m;
int v[N],w[N];
int f[N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1;i <= n;i ++)
        cin>>v[i]>>w[i];
    for(int i = 1;i <= n;i ++)
        for(int j = v[i];j <= m;j ++)
            f[j] = max(f[j],f[j - v[i]] + w[i]);
    cout<<f[m]<<endl;
    return 0;
}

3.多重 背包

• 什么是 多重 背包？
  有 n 个物品和容量是 v 的背包，每件物品最多有s件，第 i 件物品的体积是 v[i],价值是 w[i],
  求放物品进入背包后，体积不超过，但是价值最大。
• 状态表示
  f[ i ][ j ] 表示前 i 个物品，且总体积不大于 j 的所有选法的最大值
• 状态计算
  参考 0 1 背包，思考 f[i][j] 是从哪里来的？第 i 件物品可以选 0 个，1个 .....k个 ，取最大值即可
  f [ i ][ j ] = f [ i - 1,j - k * v [ i ] ] + k * w [ i ] 朴素版本的完全背包

#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;
const int N = 1010;
int n,m;
int v[N],w[N],s[N];
int f[N][N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1;i <= n;i ++)
        cin>>v[i]>>w[i]>>s[N];
    for(int i = 1;i <= n;i ++)
        for(int j = 0;j <= m;j ++)
             for(int k = 0;k <= s[i] && k* v[i] <= j;k ++)
    {
            f[i][j] = max(f[i][j],f[i - 1][j - v[i] * k] + k * w[i]);
    }
    cout<<f[n][m]<<endl;
    return 0;
}

• 优化：二进制优化
  不可以用完全背包的方法了，我们可以展开，会发现最后多出来一项，没办法求解
  二进制优化就是转化成0 1 背包的问题，比如某一物品有1023件，我们可以分成若干组，
  第一组1，第二组2，第三组4，第四组8····一直到加起来等于1023，如果没办法凑整，到了2 ^ k,但是2 ^ k +1 超出总个数了，
  我们就直接计算一个常数，s - 2 ^ k,转化成要不要选某一组的0 1背包的问题。