快速幂

快速幂 (O (log k ))

• 问题解决：可以快速地求出 a ^ k % p , 1 <= a p k <= 1e9。
• 知识 1 ：模的运算
  (a + b) % p = (a % p + b % p) % p
  (a - b) % p = (a % p - b % p) % p
  (a * b) % p = (a % p * b % p) % p
  a ∧ b % p = ( (a % p) ∧ b ) % p
  正整数 a, b对 p取模，它们的余数相同，记作 (a % p ) =( b % p) 意味 a ≡ b (mod p)
• 知识二：位运算 位运算是直接在二进制下运算

  名称	符号	规则
  与	&	两个位都为1时，结果为1
  或	｜	两个位都为0时，结果为0
  异或	^	两个位相同的话为0，不同为1
  取反	~	把0变1，1变0

• 思路：a ^ k % p ，k 可以 转化为二进制，根据二进制转换为十进制（从右往左） k = x 2 ^ 0 + x 2 ^ 1 +x* 2 ^ 2 + .... + x* 2 ^ n
  x 为 0 或 1，所以找到x = 1 的位置，然后加上底数为 a。
  代码：

#include<istream>
#include<algorithm>
using namespace std;

typedef long long LL;

int qmi(int a,int k,int p)
{
    int res = 1;
    while(k)
    {
        if(k & 1)
            res = (LL)res * a % p;   
        k >>= 1;
        a = (LL)a * a % p;
    }
    return res;
}
int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    while(n--)
    {
        int a,k,p;
        scanf("%d%d%d",&a,&k,&p);
        printf("%d\n",qmi(a,k,p));
    }
    return 0;
}

快速幂求逆元

• 什么是逆元？
  若整数 b，m 互质，并且对于任意的整数 a，如果满足 b|a，则存在一个整数 x，使得 a / b ≡ a * x(mod m)，则称 x 为 b 的模 m 乘法逆元，记为 b−1(mod m)。
  b 存在乘法逆元的充要条件是 b 与模数 m 互质。当模数 m 为质数时，bm−2 即为 b 的乘法逆元。
  就是把除法转化为乘法，找到等价的这个数 x 。
• 注意：b 是 m 的倍数时就无解
• 推导：
  a / b ≡ a * x (mod p)
  a ≡ a * b * x (mod p)
  1 ≡ b * x (mod p)
  由费马定理得
  b ^ (p - 1) ≡ 1 (mod p)
  拆出来一个b
  b * b ^ (p - 2) ≡ 1 (mod p)
  所以b的逆元 x = b ^ (p - 2)
  所以也是求快速幂b ^ (p - 2) mod p
  b * x ≡ 1 (mod n)

#include<istream>
#include<algorithm>
using namespace std;

typedef long long LL;

int qmi(int a,int k,int p)
{
    int res = 1;
    while(k)
    {
        if(k & 1)
            res = (LL)res * a % p;
        k >>= 1;
        a = (LL)a * a % p;
    }
    return res;
}
int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    while(n--)
    {
        int a,k,p;
        scanf("%d%d",&a,&p);
        int res = qmi(a,p - 2,p);
        if(a % p)
        printf("%d\n",res);
        else
            puts("impossible");
    }
    return 0;
}