合数

合数

1.试除法求一个数的所有约数，一个数的约数也一定的是成对出现的

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>

using namespace std;

vector<int> get_divisor(int n)
{
    vector<int> res;
    for(int i = 1;i <= n / i;i++)
    {
        if(n % i == 0)
        {
            res.push_back(i);   //i是约数
            if(i != n / i)
                res.push_back(n / i);  //与它成对的也是约数，要判断是不是相同
        }
    }
    sort(res.begin(),res.end());
    return res;
}
int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    while(n --)
    {
        int x;
        cin>> x;
        auto res = get_divisor(x);
        for(auto t : res)
            cout<<t<<' ';
        cout<<endl;
    }
    return 0;
}

2.约数个数：所有质因数的指数加上1后的乘积。

• 例如:12=2²3,质因数有2和3，其指数分别为2和1,那么12的约数有(2+1)(1+1)=6
• 例题：给定n个数，求这些数的乘积的约数的个数，并对结果模 1e9 + 7
  乘积的约数的个数就是每个数的约数的个数

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<unordered_map>

using namespace std;

typedef long long LL;
const int mod = 1e9 + 7;

int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    unordered_map<int,int> primes;
    while(n--)
    {
        int x;
        cin>>x;
        for(int i = 2;i <= x / i;i++)
        {
            while(x % i == 0)
            {
                x /= i;
                primes[i] ++;
            }
        }
        if(x > 1)     //大的那个质因数
            primes[x] ++;
    }
    LL res = 1;
    for(auto prime : primes)
        res = res * (prime.second + 1) % mod;
    cout <<res<<endl;
    return 0;
}

3.约数之和：先把每个质因数从0次幂一直加到其最高次幂，再把每个相应质因数幂的和相乘。

• 例如:12=2²3,则12所有约数的和 = (2⁰⁺²1+2^2)∗(30+3∧1)=74=28
  直接替换求和的for循环即可

for(auto prime : primes)
        {
            int p = prime.first,a = prime.second;
            LL t = 1;
            while(a --)
                t = (t * p + 1) % mod;
            res = res * t % mod;
        }

4.欧几里得算法：辗转相除法求公约数

• 做法：首先用较小的数去除较大的数，求出余数，然后用除数做被除数，余数做除数，进行求余运算，同样的操作，直到余数为零，此时最后的除数，就是它俩的最大公约数

#include<iostream>

using namespace std;

int gcd(int a,int b)
{
    return b ? gcd(b,a % b) : a;
}
int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    while(n --)
    {
        int a,b;
        scanf("%d%d",&a,&b);
        printf("%d\n",gcd(a,b));
    }
    return 0;
}