质数

质数
1.什么叫质数？
在大于1的整数中，只包含1和本身两个约数，叫做质数或素数。

2.质数的判定 - 试除法，O(sqrt(n))
循环中i < n / i,因为假如12，4 和 3 是约数，既然 4 是那么 3 也是，所以我们只需判断一个。
不要写成 i < sqrt ( n ), 这个判断比较慢，i * i < n 也不要，因为i * i 可能会越界。

3.分解质因数 - 试除法，O(sqrt(n)) 但是不一定是这个，最好是logn

• 从小到大枚举所有的，比如：28 的质因数
  首先 ，28的因子从小到大为 2，4，7，14
  28 / 2 =14；
  14 / 2 = 7；
  7 / 7 = 1； （这里最后一步的结束条件是得到的数 1 % 7（因数）！= 0）

void divide(int n)
{
    for(int i = 2;i <= n;i++)
    {
        if(n % i == 0)
        {
            int s = 0;
            while(n % i ==0)
            {
                n /= i;
                s ++;
            }
            printf ("%d %d\n", i,s);
        }
    }

• 优化：n当中最多只包含一个大于根号n的质因子,单独处理，最后大于1，剩下的就是它

void divide(int n)
{
    for(int i = 2;i <= n / i;i++)
    {
        if(n % i == 0)
        {
            int s = 0;
            while(n % i ==0)
            {
                n /= i;
                s ++;
            }
            printf ("%d %d\n", i,s);
        }
      if(n > 1)  printf ("%d\n", n);
    }

4.筛质数

• 比如2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12，把每个数的倍数筛掉，就剩3 5 7 9 11 O（ln n)

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 100010;
int primes[N],cnt;
bool st[N];
void get_prime(int n)
{
    for(int i = 2;i <= n;i++)
    {
        if(!st[i])    //没有被筛掉就放进primes
            primes[cnt++] = n;
        for(int j = i + i;j <= n;j += i) //筛掉倍数
            st[j] = true;
    }
}
int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    get_prime(n);
    cout<<cnt<<endl;
    return 0;
}

• 优化，埃式筛法，筛掉质数的倍数，不是质数就不需要，质数定理：1到n中有n / ln n 个质数 O(n * log (log n))
  一个合数可以表示成一个质数与一个数的乘积。

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 100010;
int primes[N],cnt;
bool st[N];
void get_prime(int n)
{
    for(int i = 2;i <= n;i++)
    {
        if(!st[i])    //没有被筛掉就放进primes
        {
            primes[cnt++] = n;
        for(int j = i + i;j <= n;j += i) //筛掉倍数,放到里边
            st[j] = true;
        }
    }
}
int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    get_prime(n);
    cout<<cnt<<endl;
    return 0;
}

• 线性筛法：使每个数只被自己的最小质因数筛掉，也就是只筛一次，不会重复，对埃式算法的优化，在这个程序中，不是质数就不会进入primes,并且保证只被自己的最小质因数筛掉,如果这个数n能被primes里的一个数整除，那么就找到自己的最小质因数了，然后就break。
  i % primes[j] == 0,那么primes[j]是i的最小质因子，primes[j]也是i * primes[j]的最小质因子
  i % primes[j] ！= 0，那么primes[j]比i的最小质因子小，primes[j]还是i * primes[j]的最小质因子
  所以保证只被自己的最小质因数筛掉。
  O( n )

void get_prime(int n)
{
    for(int i = 2;i <= n;i++)
    {
        if(!st[i])
            primes[cnt++] = i;
        for(int j = 0;primes[j] <= n / i;j ++)
        {
            st[primes[j] * i] = true;
            if(i % primes[j] == 0)
                break;
    }
}