矩阵函数的多项式表示

矩阵函数的多项式表示

设矩阵A的最小多项式为:

\[\psi_A(x)=(x-\lambda_1)^{d_1}(x-\lambda_2)^{d_2} \cdots (x-\lambda_s)^{d_s} \ \ \ \ (1.1) \\ (d_1+d_2+ \cdots d_s = m) \]

则有:

\[p(x) = a_0+a_1x+a_2x^2+ \cdots +a_{m-1}x^{m-1} \ \ \ \ \ (1.2) \]

参数\(a_0,a_1,…,a_{m-1}\):

\[p^k(\lambda_i)=f^{(k)}(\lambda_i) \ \ \ \ \ (i=1,2,...,s;k=0,1,2,...d_i-1) \ \ \ \ (1.3) \]

则所求的矩阵函数:

\[f(A) = p(A)=a_0E+a_1A+a_2A^2+ \cdots +a_{m-1}A^{m-1} \ \ \ \ \ (1.4) \]

**可以看出矩阵的多项式是一个m-1次多项式,这里的m指的就是该矩阵的最小多项式互异特征值式子的次数的和,也是a系数的个数.其中（1.3）式的i是互异$ \lambda \(的个数，k是该特定\)\lambda \(在\)\psi_A(x) $中对应分量的从1到次数-1 **

求解方法

给定一个矩阵A时：

• 求出这个矩阵A的最小多项式，例如求出的最小多项式是\(\psi_A=(x-1)(x-9)(x-7)^2(x-3)^3\)

• 第二步：由于有四个不同的$\lambda \(值，所以给它们下标规定为\)i=1,2,3,4\(。\)(x-1)，(x-9)\(次数都为1，两个对应的k都是\)k=1-1=0\(,\)(x-7)^2,(x-3)3\(次数分别是2和3,这两个对应的k分别是\)k=1\(,\)k=1,2\(，把这些次数相加就得到了\)m=1+1+2+3=7$

• 所以求出了\(p(x)\)的结构为:a系数个数有m个，这样我们就确定了\(p(x)\)的表达式结构

\[p(x) = a_0+a_1x+a_2x^2+ \cdots +a_6x^6 \]

• 现在的关键是求出\(a_0,...a_6\)这些系数
• 第五步：根据公式（1.3）和第二步的分析

\[i=1;\lambda_1=1;(x-1)次数为m_1=1;k=0;(由于k取值范围为0,...,m_1-1 ) \\ i=2;\lambda_2=9;(x-9)次数为m_2=1；k同上 \\ i=3;\lambda_3=7;(x-7)^2次数为m_3=2;k=0,1;(k=0,..,m_3-1,由于m_3-1=1,故直接就是k=1) \\ i=4;\lambda_4=3;(x-3)^3次数为m_4=3;k=0,1,2;\\ \]

取上面次数最多的\(\lambda_i\)的k的取值作为p(x)要求导的次数，即\(i=4\)时候，\(k=1,2\)，说明要对\(p(x)\)求一阶导、二阶导

\[p(x) = a_0+a_1x+a_2x^2+ \cdots +a_6x^6 \\ p^{(1)}(x) = a_1+2a_2x+ \cdots +6a_6x^5 \\ p^{(2)}(x) = 2a_2+\cdots +30a_6x^4 \]

• 根据第五步的分析：

\[\lambda_1=1,k=0,p(x)的0次导就是其本身故由式子(1.3)\\ f(1)=p(1)=a_0+a_1+\cdots+a_6 \\ \lambda_2 = 9,k=0:f(9)=p(9)=a_0+9a_1+\cdots+9^6a_6 \\ \lambda_3 = 7,k=0,1 ;当k=0时，f(7)=p(7),\\当k=1时; p^{(1)}(7)=f^{(1)}(7) \\ \lambda_4 = 3,k=0,1,2;则当k=0时，f(3)=p(3),\\当k=1时; p^{(1)}(3)=f^{(1)}(3)\\ 当k=2时，p^{(2)}(3)=f^{(2)}(3) \]

整理一下上面的分析的式子，我们得到了

\[f(1)=p(1)=a_0+a_1+\cdots+a_6\\ f(9)=p(9)=a_0+9a_1+\cdots+9^6a_6\\ f(7)=p(7)\\ p^{(1)}(7)=f^{(1)}(7)\\ f(3)=p(3)\\ p^{(1)}(3)=f^{(1)}(3)\\ p^{(2)}(3)=f^{(2)}(3) \]

**所以我们得到了这7个式子，同时我们有7个未知系数$a_0,\cdots a_6 \(**,把\)a_0,\cdots a_6 \(中每个系数，用上面方程中的\)f(1),f(9),f(7),f^{{(1)}(7),f(3),f}(3),f^{(2)}(3)$来表示（把这些看成已知数即可），7个方程7个未知数，是能求解的！

最后把求出的系数$a_0,\cdots a_6 $代回到

\[p(x) = a_0+a_1x+a_2x^2+ \cdots +a_{m-1}x^{m-1} \ \ \ \ \ \]

中，再把x换成A，里面常数乘以E即可得到这个

\[f(A) = p(A)=a_0E+a_1A+a_2A^2+ \cdots +a_{m-1}A^{m-1} \ \ \ \ \ \]

……..举的例子太复杂了，以后举例都挑简单的………..逆天！