Lagrange-Sylvester多项式

Lagrange-Sylvester多项式

设矩阵A的最小多项式为:

\[\psi_A(x)=(x-\lambda_1)^{d_1}(x-\lambda_2)^{d_2} \cdots (x-\lambda_s)^{d_s} \ \ \ \ (1.1) \\ (d_1+d_2+ \cdots d_s = m) \]

\(f(x)\)的\(Lagrange-Sylvester\)多项式：

\[p(x)=\sum_{k=1}^{s}[ a_{k1}+a_{k2}(x-\lambda_k )+\cdots +a_{kd_k}(x-\lambda_k)^{d_k - 1} ]\psi_k(x) \ \ \ (1.2) \]

其中：

\[\psi_k(x)=\frac{\psi_A(x)}{(x-\lambda_k)^{d_k}}\ \ \ \\ =(x-\lambda_1)^{d_1}\cdots(x-\lambda_{k-1})^{d_{k-1}} \cdot (x-\lambda_{k+1})^{d_{k+1}} \ \ \ (1.3) \\ \ \ \ (k=1,2,...,s;l=1,2,...d_k) \\ \\ a_{kl}=\frac{1}{(l-1)!}[\frac{d^{l-1}}{dx^{l-1}}(\frac{f(x)}{\psi_k(x)})]|_{x=\lambda_k}\ \ \ (1.4) \\ (k=1,2,...,s;l=1,2,...d_k) \]

**所以，k表示的是不同的\(\lambda\)的标号,即\(p(x)\)里面有几个\(\psi\)分量 **

\(l\)表示的是\(a_kl\)系数的多少

则得矩阵函数f(A)的拉格朗日-西勒维斯特内插多项式：

\[f(A) = p(A)=\sum_{k=1}^{s}[ a_{k1}E+a_{k2}(A-\lambda_k E)+ \cdots + a_{kd_k}(A-\lambda_kE)^{d_k -1} ]\psi_k(A) \ \ \ (1.5) \]

求解步骤分析

给定一个矩阵A时

• 第一步:求解这个矩阵的最小多项式

• 第二步：确定这个矩阵最小多项式里面有多少个不同值的\(\lambda\) ，例如：$\psi_A(x)=(x-1)(x-6)(x-4)^2 \(,里面有三个不同的\)\lambda\(值，分别为故将其下标分别设置成\)k = 1,2,3$ ,所以我们要求三个 \(\psi\) 分量

• 由于\((x-1)\)和\((x-6)\)次数都是1，所以系数\(a_{kl}\)，他们两个对应的都只有1个，即这两个\(l = 1\),而\((x-4)\)此数是2，所以它的对应的系数\(a_kl\)有两个，所以它的\(l=1,2\)

• 这一步我们就确定好了\(p(A)\)的大致的结构了。

• 开始求这三个$\psi \(分量，由公式(1.3),我们知道，**每一个分量其实就是把最小多项式除掉这个分量对应的\)\lambda$式子得到的结果：**

\[k = 1, 对应的\lambda=1, \psi_1(x)=(x-6)(x-4)^2 \\ k = 2, 对应的\lambda=6, \psi_2(x)=(x-1)(x-4)^2 \\ k = 3,对应的\lambda = 4,\psi_3(x) = (x-1)(x-6) \\所以就是用最小多项式把自己的对应的\lambda的式子去掉，\\留下的就是对应的\psi分量了 \]

• 开始求每个\(\psi\)分量的\(a_{kl}\)系数:根据公式(1.4)

  \[k = 1;l=1;a_{11}=\frac{f(x)}{\psi_1(x)}|_{x=1} = \frac{f(1)}{\psi_1(1)} \\ k = 2;l=1;a_{21}=\frac{f(x)}{\psi_2(x)}|_{x=6}=\frac{f(6)}{\psi_2(6)} \\ k=3;l=1和2;a_{31}=\frac{f(x)}{\psi_3(x)}|_{x=4}=\frac{f(4)}{\psi_3(4)}; \ \ \ \ \ a_{32}=\frac{d}{dx}(\frac{f(x)}{\psi_3(x)}) |_{x=4}=\frac{\psi_3(x)df(x)-f(x)d\psi_3(x)}{(\psi_3(x))^2 }|_{x=4} \]

• 求到这一步基本上就由式子（1.2）得到\(p(x)\)的结果了：(把上面的式子代入进去)

\[p(x)=a_{11}\psi_1(x)+a_{21}\psi_2(x)+(a_{31}+a_{32}(x-4))\psi_3(x)= \\ \frac{f(1)}{\psi_1(1)}(x-6)(x-4)^2+\frac{f(6)}{\psi_2(6)}(x-1)(x-4)^2 +(\frac{f(4)}{\psi_3(4)}+\frac{\psi_3(4)df(4)-f(x)d\psi_3(4)}{(\psi_3(4))^2 }(x-4))(x-1)(x-6) \]

• 所以对应的矩阵函数f(A)的拉格朗日-西勒维斯特内插多项式：把x全部用A替换，所有常数乘以E

\[p(A)=\frac{f(1)}{\psi_1(1)}(A-6E)(A-4E)^2+\frac{f(6)}{\psi_2(6)}(A-E)(A-4E)^2 +(\frac{f(4)}{\psi_3(4)}+\frac{\psi_3(4)df(4)-f(x)d\psi_3(4)}{(\psi_3(4))^2 }(A-4E))(A-E)(A-6E) \]

接下来把A矩阵带入到上式求出矩阵形态即可

比如要求\(e^{At}\)时，令\(f(x)= e^{xt}\)即可，就是把A换成了x

只能这么详细了，结合着课本看吧