一些结论

\(\verb!I!\)

两个不同的点 \(A(x_1,y_1)\) 和 \(B(x_2,y_2)\)，其中 \(x_1,y_1,x_2,y_2\in\mathbb{Z}\)，令 \(l_1=|x_1-x_2|,l_2=|y_1-y_2|\)，那么 \(AB\) 这条线段上的整点个数为 \(\gcd(l_1,l_2)+1\) 个（含点 \(A,B\)）。

\(\verb!II!\)

令 \(V\) 表示一个连通图的边集、\(V^\prime\) 表示该图最小生成树（任意一种情况）的边集、\(w(u,v)\) 表示 \((u,v)\) 这条边的边权，如果 \((x,y)\in\complement_V V^\prime\)，那么最小生成树上的路径 \(x\rightarrow y\) 上的边的边权一定都小于或等于 \(w(x,y)\)。

\(\verb!III!\)

一棵树如果想变成一个边双连通的图，那么至少需要加 \(\lfloor\dfrac{cnt+1}{2}\rfloor\) 条边，其中 \(cnt\) 表示度数为 \(1\) 的点的数量。

例题：[USACO06JAN] Redundant Paths G

\(\verb!IV!\)

如果一个点双连通分量中有一个奇环，那么这个点双连通分量上的所有点都在某个奇环上。

例题：KNIGHTS - Knights of the Round Table